[论文解读] A generalization of the Voiculescu theorem for normal operators in semifinite von Neumann algebras

Qihui Li, Junhao Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文将Voiculescu定理推广至具有可分预对偶和忠实正规半有限迹测度的半有限冯诺依曼代数中的正规算子。证明了任意正规算子均可在算子范数与希尔伯特-施密特范数下被对角算子逼近，从而在该设定下建立了非交换版本的Weyl-von Neumann定理。

ABSTRACT

In this paper, we provide a generalized version of the Voiculescu theorem for normal operators by showing that, in a von Neumann algebra with separable pre-dual and a faithful normal semifinite tracial weight $τ$, a normal operator is an arbitrarily small $(\max\{\|\cdot\|, \Vert\cdot\Vert_{2}\})$-norm perturbation of a diagonal operator. Furthermore, in a countably decomposable, properly infinite von Neumann algebra with a faithful normal semifinite tracial weight, we prove that each self-adjoint operator can be diagonalized modulo norm ideals satisfying a natural condition.

研究动机与目标

• 将Voiculescu关于正规算子扰动的定理从B(H)推广至具有可分预对偶的半有限冯诺依曼代数设定。
• 证明此类代数中的每个正规算子均可在算子范数与希尔伯特-施密特范数下任意接近于一个对角算子。
• 通过将代数分解为有限部分与正规无穷部分，消除早期版本定理中对正规无穷条件的依赖。
• 证明在可数分解的正规无穷冯诺依曼代数中，自伴算子可模范数理想对角化，且该范数理想满足自然条件。
• 提供一种利用可测投影族与直积分分解中的谱分解实现正规算子对角化的框架。

提出的方法

• 利用具有可分预对偶的半有限冯诺依曼代数的直积分分解，将其表示为参数化于测度空间的因子族。
• 构造一个关于基空间X中s的可测投影族{q_i^(s)}_i，使得对角算子定义为d = ∑_i λ_i p_i，其中p_i = U_s^* q_i^(s)几乎处处成立。
• 应用类型分解定理，将代数拆分为有限部分( I−p)M与正规无穷部分pM，并分别处理两部分。
• 利用有限部分中投影满足τ(p_n) < ∞的性质，构造具有受控希尔伯特-施密特范数的对角逼近。
• 利用不等式‖a − ∑_i λ_i p_i‖₂ ≤ ε，该不等式通过在μ(K_m) < ∞的集合K_m上积分，并在每个K_m上应用‖a(s) − ∑_i λ_i p_i(s)‖_{s,2}² ≤ ε² / (2^{2m}(μ(K_m)+1))的界推导得出。
• 通过d = d_0 + ∑_n d_n将有限部分与无穷部分的逼近结果合并，确保max{‖·‖, ‖·‖₂}下的总误差被ε控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 Voiculescu关于正规算子扰动的定理能否从B(H)推广至半有限冯诺依曼代数？
• RQ2 在具有可分预对偶的半有限冯诺依曼代数中，每个正规算子是否可在算子范数与希尔伯特-施密特范数下任意接近于一个对角算子？
• RQ3 当代数具有忠实正规半有限迹测度时，早期版本定理中的正规无穷假设是否仍为必要？
• RQ4 在可数分解的正规无穷冯诺依曼代数中，自伴算子是否可模满足自然增长条件的范数理想对角化？
• RQ5 如何在直积分分解中构造可测谱分解以实现范数逼近？

主要发现

• 对于具有可分预对偶和忠实正规半有限迹测度τ的半有限冯诺依曼代数中的任意正规算子a及任意ε > 0，存在一个对角算子d，使得max{‖a − d‖, ‖a − d‖₂} ≤ ε。
• 证明表明，定理6.2.4中的正规无穷条件是不必要的，因为该结果在任意具有可分预对偶的半有限冯诺依曼代数中均成立。
• 代数的有限部分通过将单位分解为满足τ(p_n) < ∞的投影族{p_n}来处理，从而可构造出希尔伯特-施密特范数较小的对角逼近。
• 通过在有限测度集合K_m上积分，控制希尔伯特-施密特范数下的逼近误差，得到估计式∫_{K_m} ‖a(s) − ∑_i λ_i p_i(s)‖_{s,2}² dμ ≤ ε² / (2^{2m}(μ(K_m)+1))。
• 最终估计式∑_{m∈ℕ} ε² μ(K_m) / (2^{2m}(μ(K_m)+1)) ≤ ε² 表明‖a − d‖₂ ≤ ε，从而完成证明。
• 该结果将Weyl–von Neumann定理推广至非因子半有限冯诺依曼代数，将Voiculescu的结果推广至具有迹测度的更广泛代数类。