[论文解读] A generalized Avikainen's estimate and its applications

Dai Taguchi|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 80被引用 5

一句话总结

本文通过将有界密度假设替换为累积分布函数的霍尔德连续性，推广了阿维卡伊宁对随机变量泛函的 $L^q$-差值的估计。该推广估计使得对随机微分方程、带 $\alpha$-稳定噪声的随机微分方程、分数布朗运动以及具有不规则系数的随机热方程的数值方案实现精确的收敛速率分析，包括在多水平蒙特卡洛方法中的应用。

ABSTRACT

Avikainen provided a sharp upper bound of the difference $\mathbb{E}[|g(X)-g(\widehat{X})|^{q}]$ by the moments of $|X-\widehat{X}|$ for any one-dimensional random variables $X$ with bounded density and $\widehat{X}$, and function of bounded variation $g$. In this article, we generalize this estimate to any one-dimensional random variable $X$ with Hölder continuous distribution function. As applications, we provide the rate of convergence for numerical schemes for solutions of one-dimensional stochastic differential equations (SDEs) driven by Brownian motion and symmetric $α$-stable with $α\in (1,2)$, fractional Brownian motion with drift and Hurst parameter $H \in (0,1/2)$, and stochastic heat equations (SHEs) with Dirichlet boundary conditions driven by space--time white noise, with irregular coefficients. We also consider a numerical scheme for maximum and integral type functionals of SDEs driven by Brownian motion with irregular coefficients and payoffs which are related to multilevel Monte Carlo method.

研究动机与目标

• 将阿维卡伊宁原始估计从有界密度条件推广至具有霍尔德连续分布函数的一类更广义的一维随机变量。
• 基于其累积分布函数的霍尔德正则性，建立随机变量泛函的一般误差界。
• 将推广后的估计应用于推导具有不规则或超线性增长系数的随机微分方程与热方程数值方案的收敛速率。
• 通过多水平蒙特卡洛方法支持对随机微分方程中最大值与积分型泛函的分析。

提出的方法

• 利用累积分布函数 $F_f(x) = \mu(f \leq x)$ 的 $\alpha$-霍尔德连续性，推导出一种广义的阿维卡伊宁型估计，替代原有的有界密度假设。
• 在有限测度空间 $(S, \Sigma, \mu)$ 上采用测度论框架，表达 $g \circ f$ 与 $g \circ \widehat{f}$ 在 $L^q$-范数下的误差。
• 建立一个关键不等式，涉及总变差 $V(g)$、霍尔德范数 $\|F_f\|_\alpha$ 以及 $|f - \widehat{f}|^p$ 的矩，得到如下形式的界：$\int_S |g \circ f - g \circ \widehat{f}|^q d\mu \leq C V(g)^q \|F_f\|_\alpha^{p/(p+\alpha)} \mu(S)^{p/(p+\alpha)} \left(\int_S |f - \widehat{f}|^p d\mu\right)^{\alpha/(p+\alpha)}$。
• 将该估计应用于由布朗运动驱动的随机微分方程、对称 $\alpha$-稳定噪声（$\alpha \in (1,2)$）驱动的随机微分方程，以及赫斯特指数 $H \in (0,1/2)$ 的分数布朗运动，结合矩界与马利avin微积分。
• 在具有空间-时间白噪声与不规则系数的随机热方程背景下应用该估计，利用吉尔萨诺夫定理与指数鞅技术控制密度与矩界。
• 将该框架应用于具有不规则系数的随机微分方程中最大值与积分型泛函的多水平蒙特卡洛方案，通过霍尔德连续性与矩估计推导收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿维卡伊宁的估计能否从有界密度假设推广至具有霍尔德连续分布函数的随机变量？
• RQ2 在具有不规则或超线性增长系数的随机微分方程中，欧拉-马里亚米安方案的最优收敛速率是什么？
• RQ3 该推广估计如何应用于具有空间-时间白噪声与不规则系数的随机热方程？
• RQ4 在具有不规则系数的随机微分方程中，最大值与积分型泛函的多水平蒙特卡洛估计器可建立何种收敛速率？
• RQ5 该框架能否处理非马尔可夫过程与非半鞅过程，如由散度型生成元或分数布朗运动驱动的过程？

主要发现

• 推广后的估计以 $\alpha$-霍尔德连续性替代有界密度条件，使估计可应用于更广泛的不规则过程。
• 对于漂移与扩散系数满足温和正则性条件的随机微分方程，欧拉-马里亚米安方案在时间与空间上的收敛速率分别为 $m^{-\alpha/4}$ 与 $n^{-\alpha/2}$，其中 $\alpha \in (0,1/2)$。
• 对于具有狄利克雷边界条件与空间-时间白噪声的随机热方程，该估计在相同正则性假设下也给出 $m^{-\alpha/4}$ 与 $n^{-\alpha/2}$ 的收敛速率。
• 该方法使最大值与积分型泛函的多水平蒙特卡洛估计器的收敛速率分析成为可能，其误差界依赖于收益函数与底层过程的霍尔德正则性。
• 该框架通过使用吉尔萨诺夫定理与指数鞅的矩估计，支持对非半鞅过程（如与散度型生成元相关的过程）的分析。
• 关键技术进展在于使用 $\|F_f\|_\alpha$ 作为密度上确界范数的替代，从而在密度不存在或无界的情况下实现误差控制。