[论文解读] A Generalized Backward Equation For One Dimensional Processes

George Lowther|ArXiv.org|Mar 23, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过引入基于边缘分布、漂移测度和半鞅的跳跃分量的广义后向柯尔莫哥洛夫方程，将后向柯尔莫哥洛夫方程推广至非可微函数和非SDE过程。主要贡献在于证明了连续强马尔可夫鞅过程由其有限维边缘分布唯一确定，从而将经典唯一性结果扩展至扩散过程之外。

ABSTRACT

Suppose that a real valued process X is given as a solution to a stochastic differential equation. Then, for any twice continuously differentiable function f, the backward Kolmogorov equation gives a condition for f(t,X) to be a local martingale. We generalize the backward equation in two main ways. First, it is extended to non-differentiable functions. Second, the process X is not required to satisfy an SDE. Instead, it is only required to be a quasimartingale satisfying an integrability condition, and the martingale condition for f(t,X) is then expressed in terms of the marginal distributions, drift measure and jumps of X. The proof involves the stochastic calculus of Dirichlet processes and a time-reversal argument. These results are then applied to show that a continuous and strong Markov martingale is uniquely determined by its marginal distributions.

研究动机与目标

• 将经典后向柯尔莫哥洛夫方程扩展至二阶连续可微函数之外的函数。
• 消除过程必须满足随机微分方程的要求。
• 仅使用 $ X $ 的边缘分布、漂移测度和跳跃分量，刻画 $ f(t, X_t) $ 为局部鞅的条件。
• 仅基于其有限维边缘分布，建立连续强马尔可夫鞅过程的唯一性。
• 利用狄利克雷过程和时间反转方法，构建分析一般半鞅的框架。

提出的方法

• 利用狄利克雷过程的随机微积分推导广义后向方程。
• 应用时间反转方法，将 $ f(t, X_t) $ 的鞅性质与 $ X $ 的特征（如漂移和跳跃测度）联系起来。
• 引入空间 $ ilde{ u}^X_f $，并使用带符号测度刻画 $ f(t, X_t) $ 的漂移分量。
• 运用分部积分法和 z.c.q.v.（零交叉、有界变差）过程控制局部鞅分量的变差。
• 利用单调类引理和马尔可夫性质，将期望的有界利普希茨函数上的界扩展至一般可测函数。
• 应用引理 7.2 于具有可积变差的预可测过程，以验证 $ f(t, X_t) $ 的漂移分量的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 后向柯尔莫哥洛夫方程能否推广至非可微函数 $ f $？
• RQ2 能否在不假设 $ X $ 满足随机微分方程的前提下，表达 $ f(t, X_t) $ 的鞅条件？
• RQ3 当 $ X $ 是具有可积性的拟半鞅时，$ f(t, X_t) $ 为局部鞅的必要与充分条件是什么？
• RQ4 连续强马尔可夫鞅过程是否由其有限维边缘分布唯一确定？
• RQ5 如何利用一般半鞅的漂移和跳跃分量来刻画 $ f(t, X_t) $ 的鞅性质？

主要发现

• 广义后向方程通过 $ X $ 的边缘分布、漂移测度和跳跃分量刻画了 $ f(t, X_t) $ 为局部鞅的条件，即使 $ f $ 不是二阶连续可微函数亦成立。
• 对于连续强马尔可夫鞅过程，其有限维联合分布完全由边缘分布唯一确定。
• 证明依赖于狄利克雷过程的随机微积分和时间反转方法，将 $ f(t, X_t) $ 的漂移与 $ X $ 的特征联系起来。
• 本文证明：若 $ f \notin \tilde{\nu}^X_f $，则 $ f(t, X_t) $ 不可能是局部鞅，从而提供了一个必要条件。
• 通过带符号测度 $ \tilde{\nu}^X_f $ 导出的界，确保了漂移分量变差的可积性，从而使得引理 7.2 可被应用。
• 结果表明，$ f(t, X_t) $ 的局部鞅性质可仅通过 $ X $ 的分布来验证，而无需假设扩散系数 $ \beta $ 和 $ \rho $ 的存在。