[论文解读] A generalized backwards scheme for solving non monotonic stochastic recursions

Pascal Moyal|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2010

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 17被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种广义的反向方案，用于在部分有序波兰空间上构造非单调随机递推的平稳解，即使驱动映射不具单调性亦可适用。通过显式扩展概率空间，并利用紧致性与时间反演技术，建立了在原始空间上存在解的充分条件，推广了Loynes与Borovkov的结果，并将其应用于非单调排队系统，如Loss系统与具有不耐烦顾客的排队系统。

ABSTRACT

We propose an explicit construction of a stationary solution for a stochastic recursion of the form $X\circθ=ϕ(X)$ on a partially-ordered Polish space, when the monotonicity of $ϕ$ is not assumed. Under certain conditions, we show that an extension of the original probability space exists, on which a solution is well-defined, and construct explicitly this extension. We then provide conditions for the solution to be defined as well on the original space. We finally apply these results to the stability study of two non-monotonic queueing systems.

研究动机与目标

• 解决当驱动映射非单调时，随机递推中的稳定性问题，这是排队模型中常见的限制。
• 通过构造性方法，将经典的Loynes与Borovkov框架推广至非单调情形。
• 提供在原始概率空间上平稳解存在的显式条件，而不仅限于扩展空间。
• 将该框架应用于两个非单调排队系统：Loss排队系统与具有不耐烦顾客的排队系统。
• 基于时间反演构造，统一并推广了遍历理论与排队理论中的现有结果。

提出的方法

• 基于时间反演与紧致性论证，提出一种广义反向方案，用于在扩展的概率空间上构造解。
• 利用在平稳遍历动力系统上定义的可测双射流θ来建模时间演化。
• 通过θ−n定义反向迭代方案，从未来回溯至过去，实现状态路径的追踪，从而实现解的构造。
• 引入局部有限集与格序波兰空间的概念，以确保递归序列的收敛性。
• 通过可测选择构造扩展空间，隐式应用Skorokhod嵌入技术。
• 建立解在扩展空间上可投影回原始概率空间的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在部分有序波兰空间上，非单调随机递推的平稳解在何种条件下存在？
• RQ2 当单调性缺失时，能否在扩展的概率空间上显式构造解？
• RQ3 何种条件可确保扩展空间上的解在原始概率空间上同样有效？
• RQ4 广义反向方案如何应用于非单调排队系统（如Loss系统）？
• RQ5 在何种情况下，扩展空间上平稳解的存在性可推出原始系统中解的唯一性或稳定性？

主要发现

• 当递推满足紧致性与可测性条件时，即使缺乏单调性，平稳解在扩展的概率空间上也存在。
• 广义反向方案显式构造了扩展概率空间与解，通过时间反演与可测选择实现。
• 对于Loss排队系统，当P(σ < ξ) > 0时，该方法恢复了已知的稳定性结果，确认了唯一平稳负荷的存在。
• 在独立情形下，当到达时间、服务时间与耐心时间i.i.d.时，若P(σ < ξ) > 0，则几乎必然有c = 1，表明系统具有遍历性，并存在非平凡的平稳解。
• 当P(σ < ξ) = 0时，该方法建立了不变集中可能的负荷值数量的有限上界，且Card(H) ≤ ⌈s̲(E[D]+E[ξ])/E[ξ]⌉。
• 该框架作为Loynes与Borovkov定理的特例被统一，通过单一构造性方案实现统一。