[论文解读] A generalized Benamou-Brenier formula for mass-varying densities

Benedetto Piccoli, Francesco Rossi|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 1

一句话总结

本文将Benamou-Brenier公式和Kantorovich-Rubinstein对偶性推广至质量可变测度，通过引入加权广义Wasserstein距离$W_p^{a,b}$实现。它建立了一个统一动能与源项的新作用泛函，证明$W_2^{a,b}$等于该作用泛函的下确界，并表明$W_1^{1,1}$等于平坦度量，从而将经典最优传输理论扩展至非守恒流。

ABSTRACT

The Wasserstein distances $W_p$ ($p\geq 1$), defined in terms of solution to the Monge-Kantorovich problem, are known to be a useful tool to investigate transport equations. In particular, the Benamou-Brenier formula characterizes the square of the Wasserstein distance $W_2$ as the infimum of the kinetic energy, or action functional, of all vector fields moving one measure to the other. Another important property of the Wasserstein distances is the Kantorovich-Rubinstein duality stating the equality between the distance $W_1$ and the supremum of the integrals of Lipschitz continuous functions with Lipschitz constant bounded by one. An intrinsic limitation of Wasserstein distances is the fact that they are defined only between measures having the same mass. To overcome such limitation, we recently introduced the generalized Wasserstein distances $W_p^{a,b}$, defined in terms of both the classical Wasserstein distance $W_p$ and the total variation (or $L^1$) distance. Here $p$ plays the same role as for the classic Wasserstein distance, while $a$ and $b$ are weights for the transport and the total variation term. In this paper we prove two important properties of the generalized Wasserstein distances: 1) a generalized Benamou-Brenier formula providing the equality between $W_2^{a,b}$ and the supremum of an action functional, which includes a transport term (kinetic energy) and a source term. 2) a duality a la Kantorovich-Rubinstein establishing the equality between $W_1^{1,1}$ and the flat metric.

研究动机与目标

• 将经典最优传输理论扩展至质量不等的测度，标准Wasserstein距离无法处理此类情况。
• 定义广义Wasserstein距离$W_p^{a,b}$，结合运输成本（$W_p$）与总变差（$L^1$），权重分别为$a$与$b$。
• 为$W_2^{a,b}$建立广义Benamou-Brenier公式，将其表达为包含动能与源项的作用泛函的下确界。
• 证明$W_1^{1,1}$的Kantorovich-Rubinstein型对偶性，表明其等于平坦度量。
• 在单一变分框架下统一守恒与非守恒传输动力学。

提出的方法

• 将广义Wasserstein距离$W_p^{a,b}$定义为经典$W_p$距离与$L^1$（总变差）距离的加权组合。
• 定义一个作用泛函，同时包含向量场的动能与表示质量生成/湮灭的源项。
• 证明$W_2^{a,b}$等于所有将一个测度移动到另一个测度的向量场与源项组合下，该作用泛函的下确界。
• 建立对偶性结果，表明$W_1^{1,1}$等于1-Lipschitz函数积分的上确界，即平坦度量。
• 利用变分法与对偶性论证，推导广义Benamou-Brenier公式与Kantorovich-Rubinstein型对偶性。
• 利用质量变化下最优传输的结构，统一守恒与非守恒动力学于单一框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Benamou-Brenier公式扩展至允许运输过程中质量变化的情形？
• RQ2 当质量不守恒时，表征$W_2^{a,b}$的合适作用泛函是什么？
• RQ3 能否为广义距离$W_1^{1,1}$建立Kantorovich-Rubinstein型对偶性？
• RQ4 $W_p^{a,b}$中的权重$a$与$b$如何影响运输成本与质量变化成本之间的平衡？
• RQ5 广义$W_1^{1,1}$距离是否等价于平坦度量，如同经典情形一般？

主要发现

• 广义Benamou-Brenier公式表明$W_2^{a,b}$等于包含动能与源项的作用泛函的下确界。
• 该作用泛函同时包含通过向量场表示的运输动力学与通过源项表示的质量生成/湮灭，从而支持非守恒流。
• 对于$W_1^{1,1}$情形，对偶性结果表明其等于平坦度量，将经典Kantorovich-Rubinstein对偶性推广至质量可变测度。
• 广义Wasserstein距离$W_p^{a,b}$为守恒与非守恒传输过程提供了统一框架。
• 权重$a$与$b$允许在距离定义中灵活插值运输成本与质量变化成本。
• 结果将经典最优传输理论推广至质量不守恒的场景，如种群动力学或含源项的流体力学。