[论文解读] A Generalized Block-Iterative Projection Method for the Common Fixed Point Problem Induced by Cutters

Yair Censor, Daniel Reem+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2022

Optimization and Variational Analysis参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文将块迭代投影（BIP）方法推广至求解连续截面算子族的公共不动点问题（CFPP），包括正交投影和次梯度投影。所提出的算法在较弱条件下确保全局收敛至公共不动点，保留了BIP在顺序、同时或分块迭代中的灵活性，并通过一个新颖的扰动Fejér单调性引理证明对自适应扰动具有鲁棒性。

ABSTRACT

The block-iterative projections (BIP) method of Aharoni and Censor [Block-iterative projection methods for parallel computation of solutions to convex feasibility problems, Linear Algebra and its Applications 120, (1989), 165--175] is an iterative process for finding asymptotically a point in the nonempty intersection of a family of closed convex subsets. It employs orthogonal projections onto the individual subsets in an algorithmic regime that uses "blocks" of operators and has great flexibility in constructing specific algorithms from it. We extend this algorithmic scheme to handle a family of continuous cutter operators and to find a common fixed point of them. Since the family of continuous cutters includes several important specific operators, our generalized scheme, which ensures global convergence and retains the flexibility of BIP, can handle, in particular, metric (orthogonal) projectors and continuous subgradient projections, which are very important in applications. We also allow a certain kind of adaptive perturbations to be included, and along the way we derive a perturbed Fej\'er monotonicity lemma which is of independent interest.

研究动机与目标

• 将块迭代投影（BIP）方法从正交投影推广至处理更广泛的连续截面算子类。
• 求解连续截面算子族的公共不动点问题（CFPP），该问题推广了凸可行性问题。
• 在权重函数满足弱条件时，确保迭代方案全局收敛至公共不动点。
• 在算法中引入自适应扰动的同时保持收敛性，展示对噪声和计算误差的鲁棒性。
• 建立适用于截面算子及其松弛变体的新扰动Fejér单调性引理。

提出的方法

• 该算法采用块迭代格式，每轮迭代中对当前迭代点应用连续截面算子的松弛凸组合。
• 各组算子以循环或自适应方式应用，权重可随迭代动态变化。
• 通过用连续截面算子替代正交投影，将BIP方法推广，其中连续截面算子包括次梯度投影和单调算子的预解算子。
• 推导出一个扰动Fejér单调性引理，用于分析自适应扰动下的收敛性。
• 收敛性分析基于广义Fejér单调性框架，并利用闭球来定位聚点。
• 当每个索引的权重和在迭代过程中发散时，算法被证明全局收敛至公共不动点集。

实验结果

研究问题

• RQ1 BIP方法能否推广至处理正交投影之外的连续截面算子？
• RQ2 当在迭代过程中引入扰动时，广义算法是否仍保持全局收敛？
• RQ3 在何种条件下，迭代序列收敛至公共不动点集而非更大的广义解集？
• RQ4 如何形式化建立截面算子的扰动Fejér单调性以支持收敛性分析？
• RQ5 在权重函数和控制策略上，保证收敛性的最小假设是什么？

主要发现

• 所提出的算法确保迭代序列全局收敛至CFPP的广义解，且在弱条件下该解与公共不动点集一致。
• 当每个索引的权重和在迭代过程中发散时，可保证全局收敛至公共不动点集，该条件在许多实际情形（如重复、均匀和周期性控制）下成立。
• 该算法对自适应扰动具有鲁棒性，包括由噪声或计算误差引起的扰动，甚至包括通过优越化方法有意引入的扰动。
• 建立了一个新颖的扰动Fejér单调性引理，表明在特定扰动下，截面算子的准非扩张性得以保持。
• 此前认为收敛所必需的“公平性”权重序列假设被证明并非必要，因该假设在证明中未被使用。
• 讨论了向无限维空间和不连续截面算子的扩展，主要挑战在于缺乏序列紧致性以及对有界性假设的需求。