[论文解读] A generalized definition of Caputo derivatives and its application to fractional ODEs

Lei Li, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文通过一种改进的黎曼-刘维尔微积分构造广义的柯普托导数，形成卷积群结构，从而为分数阶常微分方程提供统一框架。主要贡献在于在最弱正则性假设下，为非线性分数阶常微分方程与偏微分方程建立比较原理与能量估计，包括可能在有限时间内爆破的解。

ABSTRACT

We extend in this paper the definition of Caputo derivatives of order in $(0,1)$ to a certain class of locally integrable functions using a convolution group. Our strategy is to define a fractional calculus for a certain class of distributions using the convolution group. When acting on causal functions, this fractional calculus agrees with the traditional Riemann-Liouville definition for $t>0$ but includes some singularities at $t=0$ so that the group property holds. Then, making use of this fractional calculus, we introduce the generalized definition of Caputo derivatives. The new definition is consistent with various definitions in literature while reveals the underlying group structure. Since the new definition is valid for a class of locally integrable functions that can blow up in finite time, it provides a framework for solutions to fractional ODEs and fractional PDEs with very weak conditions. The underlying group property makes many properties of Caputo derivatives natural. In particular, it allows us to de-convolve the fractional differential equations to integral equations with completely monotone kernels, which then enables us to prove the general Grönwall inequality (or comparison principle) with the most general conditions. This then provides the essential tools for {\it a priori} energy estimates of fractional PDEs. Some other fundamental results for fractional ODEs are also established within this frame under very weak conditions.

研究动机与目标

• 解决传统柯普托导数与黎曼-刘维尔分数阶导数中缺乏群结构的问题。
• 建立一个一致且广义的柯普托导数定义，保留比较原理等基本性质。
• 为非线性分数阶常微分方程初值问题提供严格的框架，且对光滑性要求最低。
• 利用新导数定义，为分数阶偏微分方程实现先验能量估计。
• 将分数阶微积分的应用范围扩展至在 t = 0 处可能具有奇点或爆破的局部可积函数。

提出的方法

• 定义改进的黎曼-刘维尔微积分 Jαϕ 为与核 gα(t) = θ(t)tα−1/Γ(α) 的卷积，该核在 t = 0 处具有奇点，以保证群性质。
• 通过在 Jαϕ 上进行逆卷积运算构造广义柯普托导数 Dγcϕ，确保与经典定义一致的同时揭示其底层群结构。
• 利用 Jα 的群性质，将分数阶常微分方程转化为具有完全单调核的积分方程。
• 应用完全单调函数理论与拉普拉斯变换，推导出在一般条件下的比较原理。
• 通过利用去卷积结构与核的正性，为分数阶偏微分方程建立能量估计。
• 通过正则化与分布收敛方法证明解的存在性与整体存在性，尤其适用于哈密顿型系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义广义柯普托导数，使其继承底层分数阶积分微积分的群结构？
• RQ2 为建立非线性分数阶常微分方程的一般比较原理，需要哪些条件？
• RQ3 在新导数框架下，能否在弱正则性假设下为分数阶偏微分方程推导出能量估计？
• RQ4 广义柯普托导数如何处理非光滑或在 t = 0 处可能爆破的函数？
• RQ5 在新导数定义下，分数阶哈密顿系统解的长期行为如何？

主要发现

• 广义柯普托导数通过一种改进的黎曼-刘维尔微积分定义，该微积分形成卷积群，从而实现分数阶导数的一致且自然的推广。
• 新框架在最弱可能条件下实现了非线性分数阶常微分方程的一般比较原理，包括可能在有限时间内爆破的函数。
• 通过将方程去卷积为具有完全单调核的积分形式，为分数阶偏微分方程建立了先验能量估计。
• 分数阶哈密顿系统 Dγc v = J∇vE(v) 的解满足 E(v(t)) ≤ E(v(0))，在适当条件下证明了能量耗散与整体存在性。
• 对于 E(p,q) = ½(p² + q²) 的示例系统，当 γ < 1/2 时能量衰减为 t⁻²γ，且解收敛于 (0,0)，证实了长期稳定性。
• 该框架对 0 < γ < 1 具有鲁棒性，并可自然推广至高阶分数阶导数，在 γ → 1 的奇异极限下仍保持一致解。