[论文解读] A Generalized Faulhaber Inequality, Improved Bracketing Covers, and Applications to Discrepancy

Michael Gnewuch, Hendrik Pasing+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 55被引用 9

一句话总结

本文提出了一种广义的Faulhaber不等式，用于改进以原点为锚点的d维轴对齐长方体的 bracketing 数的界。通过利用该不等式，作者推导出负相关随机点集的星偏差（star-discrepancy）和加权星偏差（weighted star-discrepancy）的更紧致上界，显著提升了预渐近界，并实现了更优的偏差估计与低偏差点集的算法构造。

ABSTRACT

We prove a generalized Faulhaber inequality to bound the sums of the $j$-th powers of the first $n$ (possibly shifted) natural numbers. With the help of this inequality we are able to improve the known bounds for bracketing numbers of $d$-dimensional axis-parallel boxes anchored in $0$ (or, put differently, of lower left orthants intersected with the $d$-dimensional unit cube $[0,1]^d$). We use these improved bracketing numbers to establish new bounds for the star-discrepancy of negatively dependent random point sets and its expectation. We apply our findings also to the weighted star-discrepancy.

研究动机与目标

• 推导关于平移幂次和 (i + r)^j（其中 0 ≤ r ≤ 1）的广义Faulhaber不等式。
• 改进d维轴对齐长方体在原点锚定下的 bracketing 数 N[ ](d, δ) 的上界。
• 为负相关随机点集的星偏差建立更紧致的预渐近界。
• 将这些结果推广至加权星偏差，并改进现有的概率偏差界。

提出的方法

• 推导广义Faulhaber不等式：∑_{i=1}^n (i + r)^j ≤ (n + r)^{j+1}/(j+1) + (n + r)^j /2 + j(n + r)^{j-1}/12，其中 0 ≤ r ≤ 1。
• 利用该不等式构造 [0,1]^d 的显式、改进的 δ-覆盖与 bracketing 覆盖。
• 将改进的 bracketing 数界应用于分析具有负相关的随机点集的星偏差。
• 借助 dyadic chaining 方法与集中不等式，推导在 γ-负相关条件下的概率偏差界。
• 利用改进的 bracketing 数界，优化现有关于加权星偏差与散布（dispersion）的界。
• 将结果应用于蒙特卡洛与准蒙特卡洛点集，从而得到更紧致的积分误差与算法效率界。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Faulhaber不等式是否能用于改进高维中平移和 (i + r)^j 的 bracketing 数界？
• RQ2 改进的 bracketing 数界如何影响负相关点集的预渐近偏差界？
• RQ3 广义Faulhaber不等式能否用于收紧现有关于加权星偏差的界？
• RQ4 γ-负相关对随机点集的概率偏差界有何影响？
• RQ5 改进的 bracketing 数是否能带来更高效的偏差计算或低偏差集构造算法？

主要发现

• 广义Faulhaber不等式为 ∑_{i=1}^n (i + r)^j 提供了具有正系数的紧致上界，从而支持对 bracketing 数的更精确分析。
• bracketing 数 N[ ](d, δ) 的上界为 max{1.1^{d-101}, 1} · d^d / d! · (δ^{-1} + 1)^d，显著优于先前的界。
• 对于蒙特卡洛点集，加权星偏差的上界为 0.7723 / √N · max_{∅≠u⊆[d]} γ_u · √(11.78864 + log(d) − (1 + 1/(2|u|)) log(|u|)) / √|u|。
• 在 γ-负相关条件下，星偏差以高概率被界为 c · max_u γ_u · √(|u|/N)，其中概率界依赖于 c、d 和 ρ。
• 改进的 bracketing 数界带来了更优的预渐近界，并支持更高效的偏差计算与低偏差集构造。
• 结果可推广至极端偏差（extreme discrepancy）与散布（dispersion），表明其在数值积分与优化中具有更广泛的应用潜力。