[论文解读] A generalized formulation for vehicle routing problems

Pedro Munari, Dollevoet, Twan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 26被引用 15

一句话总结

本文提出了一种广义的 $p$-步公式，用于车辆路径问题，将传统的车辆流（VF）和集合划分（SP）公式统一为特例。通过将路径建模为长度为 $p$ 的部分路径，该方法在 VF 公式的基础上实现了更强的线性松弛，在 SP 公式的基础上实现了更高效的列生成，尤其适用于路径较长的问题。

ABSTRACT

Different types of formulations are proposed in the literature to model vehicle routing problems. Currently, the most used ones can be fitted into two classes, namely vehicle flow formulations and set partitioning formulations. These types of formulations differ from each other not only due to their variables and constraints but also due to their main features. Vehicle flow formulations have the advantage of being compact models, so general-purpose optimization packages can be used to straightforwardly solve them. However, they typically show weak linear relaxations and have a large number of constraints. Branch-and-cut methods based on specialized valid inequalities can also be devised to solve these formulations, but they have not shown to be effective for large-scale instances. On the other hand, set partitioning formulations have stronger linear relaxations, but requires the implementation of sophisticate techniques such as column generation and specialized branch-and-price methods. Due to all these reasons, so far it is has been recognized in the vehicle routing community that these two types of formulations are rather different. In this paper, we show that they are actually strongly related as they correspond to special cases of a generalized formulation of vehicle routing problems.

研究动机与目标

• 将车辆路径问题中两种主流公式——车辆流（VF）和集合划分（SP）——统一到一个广义框架下。
• 通过引入一种灵活的中间公式，解决 VF 公式（线性松弛弱）和 SP 公式（列生成计算负担重）的局限性。
• 通过将对偶变量与部分路径而非完整路径关联，实现在列生成中获得更强的对偶信息。
• 探索 $p$-步公式在丰富车辆路径问题和综合物流模型中的潜力。
• 建立不同 $p$-步公式线性松弛界之间的理论关系，并阐明其与 VF 和 SP 模型的联系。

提出的方法

• 提出一种 $p$-步公式，其中变量表示网络中恰好包含 $p$ 条弧的部分路径，起点和终点可为任意节点。
• 推导主问题，包含确保每位客户恰好被访问一次，且满足车辆容量和路径长度限制的约束。
• 对 $p$-步公式应用 Dantzig-Wolfe 分解，以支持列生成，其中子问题生成可行的 $p$-步路径。
• 使用带资源限制的标签设定算法（如步数、载荷、时间等）高效求解子问题。
• 通过在部分路径上直接施加有效不等式和约束，加强公式。
• 通过独立求解每个起点的子问题，实现子问题的并行化，充分利用多核架构。

实验结果

研究问题

• RQ1 车辆流和集合划分公式能否在单一广义公式下统一？
• RQ2 对于不同 $p$ 值，$p$-步公式的线性松弛界与 VF 和 SP 公式的线性松弛界相比如何？
• RQ3 $p$-步公式能否通过向子问题提供更丰富的对偶信息，从而改善列生成性能？
• RQ4 在求解时间与松弛强度方面，$p$-步公式与经典 VF/SP 模型之间的计算权衡如何？
• RQ5 $p$-步公式能否有效应用于具有复杂约束的丰富车辆路径问题？

主要发现

• $p$-步公式广义化了车辆流和集合划分公式，其中 $p=1$ 对应 VF，$p$ 足够大时可近似 SP。
• $p$-步公式的线性松弛界随 $p$ 单调非减，随着 $p$ 增大趋近于 SP 公式的界。
• $p$-步公式的列生成向子问题提供了比 SP 公式更丰富的对偶信息，因为对偶变量按节点对定义，可直接用作边成本。
• $p$-步公式通过按起点并行求解子问题，提升了现代硬件上的计算效率。
• 该公式可直接在主问题中集成复杂约束（如容量、时间窗），增强了其在丰富 VRP 变体中的适用性。
• 可采用“转折点策略”——在优化过程中逐步增加 $p$——在不显著增加计算成本的前提下提升界的质量。