[论文解读] A Generalized Fractional Calculus of Variations

Tatiana Odzijewicz, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 47被引用 9

一句话总结

本文提出了一种广义分数阶变分法，采用具有任意核的广义分数阶积分，实现了包含经典导数与分数阶导数混合的变分问题的欧拉-拉格朗日方程、自然边界条件以及诺特定理的构建。核心贡献是为非保守系统提供了一个统一的框架，将经典变分原理推广至非保守系统，通过阻尼谐振子和对称变换下的不变性进行了验证。

ABSTRACT

In this PhD thesis we introduce a generalized fractional calculus of variations. We consider variational problems containing generalized fractional integrals and derivatives, and study them using standard (indirect) and direct methods. In particular, we obtain necessary optimality conditions of Euler-Lagrange type for the fundamental and isoperimetric problems, natural boundary conditions, and Noether theorems. Existence of solutions is shown under Tonelli type conditions. Moreover, we apply our results to prove existence of eigenvalues, and corresponding orthogonal eigenfunctions, to fractional Sturm-Liouville problems.

研究动机与目标

• 开发一种广义分数阶变分法，利用广义分数阶算子将经典变分原理推广至非保守系统。
• 推导涉及经典导数与不同非整数阶广义分数阶积分及导数的变分问题的必要最优性条件。
• 为广义分数阶设定下的自由边界值问题建立自然边界条件。
• 为分数阶变分问题中的对称性不变性建立广义诺特型定理。
• 通过阻尼谐振子和对称不变系统展示该框架的适用性。

提出的方法

• 将广义分数阶积分算子 $ K_P^eta $ 定义为具有任意核 $ k_eta(x,t) $ 的左、右分数阶积分的线性组合，由参数 $ P = \big\bracevert a,x,b,p,q \big\bracevert $ 参数化。
• 通过经典导数与广义积分算子的复合，引入广义分数阶黎曼-刘维尔导数与卡波托导数。
• 通过对包含 $ n $ 个广义分数阶卡波托导数与 $ n $ 个广义分数阶积分的泛函应用标准变分法，推导广义基本变分问题的欧拉-拉格朗日方程。
• 通过考虑端点不固定的变分，推导自由边界值问题的自然边界条件。
• 将等周问题推广至广义分数阶设定，并推导相应的欧拉-拉格朗日型方程。
• 通过分析泛函在单参数变换下的不变性，证明广义诺特型定理，导出包含核的导数的守恒律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将变分法推广以包含混合经典导数与具有任意核的非整数阶分数阶导数和积分？
• RQ2 具有多个不同阶数分数阶算子的广义分数阶变分问题的必要最优性条件是什么？
• RQ3 在广义分数阶变分法中，自由边界值问题的自然边界条件是什么？
• RQ4 如何将等周问题推广至广义分数阶设定，其结果的欧拉-拉格朗日方程是什么？
• RQ5 广义分数阶变分法中的诺特型定理的形式是什么，它与对称性和守恒律有何关系？

主要发现

• 本文推导出涉及 $ n $ 个广义分数阶卡波托导数与 $ n $ 个广义分数阶积分的变分问题的广义欧拉-拉格朗日方程，其非整数阶数各不相同。
• 对于自由边界值问题，本文建立了涉及核的导数 $ k_eta(b,t) $ 的自然边界条件，表达为 $ \frac{d}{dt} \big( k_\beta(b,t) \frac{\nu}{\nu t} \big) $，其中 $ \nu $ 表示广义分数阶导数。
• 广义等周问题导出的欧拉-拉格朗日方程包含一个额外项，与 $ \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) $ 成正比，反映了核对极值条件的影响。
• 证明了广义诺特型定理：若泛函在单参数变换群下不变，则存在一个守恒律，其形式为 $ \frac{d}{dt} \big( \tilde{\rho} \big) + \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) \tilde{\rho} = 0 $，其中 $ \tilde{\rho} $ 为广义动量。
• 对于拉格朗日量为 $ L = \frac{1}{2}m(\tilde{y}_1^2 + \tilde{y}_2^2 + \tilde{y}_3^2) - V(\textbf{y}) $ 的阻尼谐振子，所导出的方程简化为 $ \tilde{y}_i + \frac{\nu}{\nu t} \tilde{y}_i + \frac{1}{m} \frac{\nu V}{\nu y_i} = 0 $，与已知的耗散动力学一致。
• 在平移对称性下，仅当 $ \beta = 0 $ 时，正则动量 $ p_i = m \tilde{y}_i $ 才守恒；而当 $ \beta \neq 0 $ 时，守恒律中包含一个阻尼项 $ \frac{1}{k_\beta(b,t)} \frac{d}{dt} k_\beta(b,t) $，表明非局部性如何改变守恒律。