[论文解读] A generalized Lanczos method for systematic optimization of tensor network states

Rui-Zhen Huang, Haijun Liao+6 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义的Lanczos方法，通过迭代地利用哈密顿量生成正交的多体基态，从而提升张量网络态（TNS）的精度，实现虚拟键维数较小情况下的精确基态计算。该方法显著改善了纠缠结构的描述和能量收敛性，在低D时优于标准TNS和DMRG，并能准确模拟临界系统和激发态，而无需使用MERA等复杂的多尺度纠缠变分态。

ABSTRACT

We propose a generalized Lanczos method to generate the many-body basis states of quantum lattice models using tensor-network states (TNS). The ground-state wave function is represented as a linear superposition composed from a set of TNS generated by Lanczos iteration. This method improves significantly both the accuracy and the efficiency of the tensor-network algorithm and allows the ground state to be determined accurately using TNS with very small virtual bond dimensions. This state contains significantly more entanglement than each individual TNS, reproducing correctly the logarithmic size dependence of the entanglement entropy in a critical system. The method can be generalized to non-Hamiltonian systems and to the calculation of low-lying excited states, dynamical correlation functions, and other physical properties of strongly correlated systems.

研究动机与目标

• 为解决在希尔伯特空间呈指数增长的量子多体系统模拟中的根本挑战，特别是在临界和强关联区域。
• 克服标准张量网络态（TNS）的局限性，后者在临界系统中需较大的键维数D以捕捉对数纠缠修正。
• 开发一种在不增加D的情况下提升TNS精度的方法，从而在降低计算成本的同时改善纠缠结构和能量收敛性。
• 将TNS的应用范围扩展至非哈密顿系统、激发态以及动力学关联函数。

提出的方法

• 该方法从一个变分TNS |ψ₁⟩ 开始，该态在归一化条件下最小化能量泛函 ⟨ψ₁|H|ψ₁⟩。
• 在每次Lanczos迭代中，通过最小化残差范数 ||H|Ψₙ₋₁⟩ − hₙ₋₁,ₙ₋₁|Ψₙ₋₁⟩ − |ψₙ⟩||² 生成一个新的TNS |ψₙ⟩，其中 hₙ₋₁,ₙ₋₁ 是前一个基态的能量。
• 通过Gram-Schmidt正交化构造一个新的正交基态 |Ψₙ⟩：|Ψₙ⟩ = aₙ(1 − |Ψₙ₋₁⟩⟨Ψₙ₋₁|)⋯(1 − |Ψ₁⟩⟨Ψ₁|)|ψₙ⟩。
• 然后将基态近似为生成的正交TNS基态 |Ψ₁⟩, |Ψ₂⟩, ..., |Ψₙ⟩ 的线性组合，并在该Krylov子空间中对哈密顿量进行对角化。
• 该方法可推广至MPS、PEPS、MERA及其他TNS，并可通过量子转移矩阵推广至非哈密顿系统，或通过切比雪夫展开推广至动力学性质。
• 该方法可同时目标多个态，推广了块Lanczos方法用于激发态和能隙计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Lanczos型迭代方法适配于张量网络态，以在不增加键维数D的情况下系统性地提升基态能量和纠缠精度？
• RQ2 所得叠加态的纠缠熵如何随系统尺寸变化？能否正确再现临界系统中的对数修正？
• RQ3 在小D下，该方法在能量精度和纠缠描述方面相较于标准TNS和DMRG的优越程度如何？
• RQ4 该方法能否推广至非哈密顿系统和动力学关联函数？
• RQ5 随着Lanczos迭代次数n的增加，基态能量和纠缠熵的收敛行为如何？

主要发现

• 对于一维和二维海森堡模型，基态能量随迭代次数n呈指数收敛，符合 E(n) = E_ex + a e^(-μn)，收敛速率μ随键维数D迅速增加。
• 仅使用200次Lanczos迭代和D=4在4×4正方形晶格上，基态能量相比初始TNS提升了9个数量级。
• 最终叠加态的纠缠熵随迭代次数增长并趋近于收敛值，其中达到1%精度所需的TNS数量n₀随系统尺寸L几乎呈线性增长。
• 对于6×6海森堡模型，TNS-Lanczos态的收敛纠缠熵超过了D=4096的DMRG波函数，表明在低D下具有更优的纠缠描述能力。
• 该方法无需使用MERA等多尺度纠缠变分态，即可准确捕捉临界系统中纠缠熵的对数尺寸依赖性。
• 该方法在费米子系统中表现同样出色，能量收敛速率与海森堡模型相当，表明其在不同类型相互作用下均具有鲁棒性。