[论文解读] A generalized Major index statistic

Sami Assaf|ArXiv.org|Jul 2, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文引入了单词上广义的 $k$-主要索引统计量，该统计量在经典主要索引（$k=1$）与逆序数（$k=n$）之间插值，并通过受福阿特定作启发的递归双射，提供了该统计量为Mahonian（即与逆序数等分布）的双射证明。该构造可推广至 $k \leq 3$ 的标准杨表，并与麦克唐纳多项式相关联，为麦克唐纳正性提供组合证明指明了路径。

ABSTRACT

Inspired by the $k$-inversion statistic for LLT polynomials, we define a $k$-inversion number and $k$-descent set for words. Using these, we define a new statistic on words, called the $k$-major index, that interpolates between the major index and inversion number. We give a bijective proof that the $k$-major index is equidistributed with the major index, generalizing a classical result of Foata and rediscovering a result of Kadell. Inspired by recent work of Haglund and Stevens, we give a partial extension of these definitions and constructions to standard Young tableaux. Finally, we give an application to Macdonald polynomials made possible through connections with LLT polynomials.

研究动机与目标

• 定义一种新统计量，即 $k$-主要索引，使其在单词上的主要索引与逆序数之间连续插值。
• 通过双射证明 $k$-主要索引对所有 $k$ 与逆序数等分布（即为Mahonian）。
• 将 $k$-主要索引推广至 $k \leq 3$ 的标准杨表，推广了哈格伦德与史蒂文斯近期的工作。
• 通过 LLT 多项式建立 $k$-主要索引与麦克唐纳多项式之间的联系，暗示麦克唐纳正性的组合证明。

提出的方法

• 将 $k$-下降集 $\mathrm{Des}_k(w)$ 定义为满足 $w_i > w_{i+k}$ 的对 $(i,i+k)$。
• 将 $k$-逆序集 $\mathrm{Inv}_k(w)$ 定义为满足 $0 < j-i < k$ 且 $w_i > w_j$ 的对 $(i,j)$。
• 将 $k$-主要索引定义为 $\mathrm{maj}_k(w) = |\mathrm{Inv}_k(w)| + \sum_{(i,i+k) \in \mathrm{Des}_k(w)} i$。
• 在单词上构造保持 $k$-主要索引分布的递归双射，推广福阿特原始双射。
• 使用相同的双射框架，将 $k$-主要索引推广至 $k \leq 3$ 的标准杨表。
• 通过 LLT 多项式将 $k$-主要索引与麦克唐纳多项式关联，暗示麦克唐纳正性的组合证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种统计量，使其在单词上的主要索引与逆序数之间连续插值？
• RQ2 对所有 $k$，$k$-主要索引是否与逆序数等分布？
• RQ3 $k$-主要索引能否推广至标准杨表，且是否保持等分布性？
• RQ4 $k$-主要索引与麦克唐纳多项式之间存在何种联系，尤其是关于正性方面？
• RQ5 是否存在一族保持 $k$-等价类的双射，可导致麦克唐纳正性的组合证明？

主要发现

• 该 $k$-主要索引为Mahonian：对所有 $k$，有 $\sum_{w \in W_M} q^{\mathrm{maj}_k(w)} = \sum_{w \in W_M} q^{\mathrm{inv}(w)}$，其证明基于一族新的递归双射。
• 当 $k=1$ 时，$k$-主要索引退化为经典主要索引；当 $k=n$ 时，对长度为 $n$ 的单词，其退化为逆序数。
• 对 $k \leq 3$，$k$-主要索引可推广至标准杨表，推广了哈格伦德与史蒂文斯关于逆序数与主要索引等分布的工作。
• 该构造提供了Mahonian性质的新双射证明，虽与福阿特和凯德尔的双射相关，但具有独特性。
• $k$-主要索引通过 LLT 多项式与麦克唐纳多项式关联，本文猜想存在一族双射，可给出麦克唐纳正性的简洁组合证明。
• 推论确认了索引为两列分拆及单行分拆的麦克唐纳多项式的舒尔正性。