[论文解读] A Generalized Matrix Inverse with Applications to Robotic Systems

Bo Zhang, Jeffrey Uhlmann|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种单位一致的（UC）广义矩阵逆，通过在状态变量的任意单位缩放下保持性能，确保了机器人控制系统中的鲁棒性——这与不具备此特性的Moore-Penrose伪逆不同。UC逆满足一个关键变换规则：$(DAE)^{-U} = E^{-1}A^{-U}D^{-1}$，使得在不确定或超定系统中，无论选择何种单位，都能获得一致的解，且在机器人状态空间模型中得到了理论和算法上的验证。

ABSTRACT

It is well-understood that the robustness of mechanical and robotic control systems depends critically on minimizing sensitivity to arbitrary application-specific details whenever possible. For example, if a system is defined and performs well in one particular Euclidean coordinate frame then it should be expected to perform identically if that coordinate frame is arbitrarily rotated or scaled. Similarly, the performance of the system should not be affected if its key parameters are all consistently defined in metric units or in imperial units. In this paper we show that a recently introduced generalized matrix inverse permits performance consistency to be rigorously guaranteed in control systems that require solutions to underdetermined and/or overdetermined systems of equations.

研究动机与目标

• 解决在将传统广义逆（如Moore-Penrose伪逆）应用于机器人系统时缺乏单位一致性的缺陷。
• 确保控制系统的性能在状态变量单位任意变化（如公制与英制）下保持不变。
• 开发一种广义逆，使其在表示单位变化的对角缩放变换下保持代数一致性。
• 为机器人和机电控制系统的Moore-Penrose逆提供一个理论基础坚实且计算上可行的替代方案。
• 展示UC逆与张量积的兼容性，并说明其在多维机器人状态空间模型中的应用。

提出的方法

• 提出一种新的广义逆 $A^{-U}$，其满足变换性质 $(DAE)^{-U} = E^{-1}A^{-U}D^{-1}$，其中 $D$ 和 $E$ 为表示单位缩放的对角矩阵。
• 建立UC逆保持广义逆性质的理论条件，包括 $A A^{-U} A = A$ 和 $A^{-U} A A^{-U} = A^{-U}$。
• 证明UC逆与张量积兼容：$(A_1 igotimes A_2)^{-U} = A_1^{-U} igotimes A_2^{-U}$，从而支持在多维系统中的可扩展性。
• 推导出一种基于对数变换和迭代平衡的数值算法，利用标准伪逆算法计算UC逆。
• 使用符号矩阵 $S = \text{sign}(A)$、绝对值 $|A|$ 和对数缩放 $L = \log(|A|)$ 重新加权矩阵元素，再应用Moore-Penrose逆。
• 采用迭代优化过程计算双重缩放向量 $u$ 和 $v$ 以校正单位不一致性，随后通过指数运算和缩放恢复UC逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种广义矩阵逆，使其在机器人系统中状态变量的任意单位缩放下保持不变？
• RQ2 在单位变换的背景下，所提出的单位一致逆与Moore-Penrose伪逆在代数和行为上存在哪些差异？
• RQ3 UC逆在奇异或非方阵系统中，于何种条件下仍能保持基本广义逆性质？
• RQ4 UC逆是否与矩阵的张量积兼容，从而支持其在多维机器人状态空间模型中的应用？
• RQ5 能否设计一种高效且数值稳定的算法，使用标准线性代数工具计算UC逆？

主要发现

• 所提出的单位一致逆 $A^{-U}$ 满足变换规则 $(DAE)^{-U} = E^{-1}A^{-U}D^{-1}$，确保了在状态变量任意单位缩放下保持不变。
• UC逆保持了核心广义逆性质：即使 $A$ 为奇异或矩形矩阵，也有 $A A^{-U} A = A$ 和 $A^{-U} A A^{-U} = A^{-U}$。
• UC逆与张量积兼容：$(A_1 igotimes A_2)^{-U} = A_1^{-U} igotimes A_2^{-U}$，通过数学归纳法证明，并在矩阵元素满足 $\pm 1$ 乘积约束下得到验证。
• 在Octave/Matlab中实现了一种高效数值算法，通过先对 $A$ 进行对数缩放变换，应用迭代平衡，再在变换后的矩阵上使用 $\text{pinv}$ 计算 $A^{-U}$。
• 该算法在 $10^{-22}$ 的容差范围内收敛，表明其具有数值稳定性与实际可行性。
• 在需要单位一致性的应用中（如包含混合物理单位的机器人控制系统，例如温度、压力、速度、距离），UC逆优于Moore-Penrose伪逆。