[论文解读] A Generalized Mixed Zero-sum Stochastic Differential Game and Double Barrier Reflected BSDEs with Quadratic Growth Coefficient

Saïd Hamadène, Eduard Rotenstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2008

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文在广义混合零和随机微分博弈中建立了鞍点的存在性，其中收益由带二次增长Z分量的双反射倒向随机微分方程（BSDE）建模。证明了上值函数和下值函数为确定性函数，并唯一地表征为带有障碍的两个Isaacs方程的粘性解，从而扩展了风险敏感控制与美式博弈期权框架。

ABSTRACT

This article is dedicated to the study of mixed zero-sum two-player stochastic differential games in the situation when the player's cost functionals are modeled by doubly controlled reflected backward stochastic equations with two barriers whose coefficients have quadratic growth in Z. This is a generalization of the risk-sensitive payoffs. We show that the lower and the upper value function associated with this stochastic differential game with reflection are deterministic and they are also the unique viscosity solutions for two Isaacs equations with obstacles.

研究动机与目标

• 通过在Z分量中带二次增长的双反射BSDE建模收益，推广风险敏感控制与美式博弈期权。
• 分析玩家可提前停止并面临惩罚的混合零和随机微分博弈。
• 建立上值函数与下值函数存在且唯一的确定性粘性解，作为带有两个障碍的Isaacs方程的解。
• 在基于反射和二次系数的统一BSDE结构下，统一Dynkin博弈与风险敏感控制的框架。

提出的方法

• 作者使用带有两个屏障和在Z分量中具有二次增长系数的双反射BSDE来建模博弈的收益。
• 他们采用Kobylanski关于带二次增长的BSDE的存在唯一性结果，以确保底层BSDE的适定性。
• 通过指数变换从BSDE的解中推导出值函数，将BSDE的解与博弈的收益结构联系起来。
• 利用伊t公式和鞅表示定理，形式化了博弈值与BSDE解之间的联系，表明收益等于初始BSDE值的指数。
• 应用粘性解理论，将上值函数和下值函数表征为两个带障碍的Isaacs方程的解。
• 证明利用了带两个反射屏障的BSDE解的表征，以推导值函数的动态规划原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将带有停止时间与反射的混合零和随机微分博弈的值函数表征为带有障碍的HJB型方程系统的粘性解？
• RQ2 生成器的Z分量中包含二次增长如何影响底层BSDE解的存在性与唯一性？
• RQ3 在何种条件下上值函数与下值函数相等，且在该广义博弈设定下其确定性本质为何？
• RQ4 具有风险敏感偏好指数收益结构在多大程度上推广了标准风险中性Dynkin博弈与美式博弈期权？
• RQ5 带二次增长的双反射BSDE的解是否足以表示带有停止时间的混合随机微分博弈的值？

主要发现

• 混合零和随机微分博弈的上值函数与下值函数为确定性函数，这是关键的结构性结果。
• 这些值函数被唯一地表征为带有两个障碍的两个Isaacs方程的粘性解，将经典HJB理论扩展至带反射与二次增长的设定。
• 博弈的收益表示为带二次增长Z分量的双反射BSDE初始值的指数，将随机控制与BSDE理论联系起来。
• 在系数有界性和正则性假设下，带两个反射屏障和二次生成器的BSDE解确保了值函数的存在与唯一性。
• 通过在停止时间集合上取本质下确界与上确界，利用BSDE解的表征，建立了值函数的动态规划原理。
• 本文指出了文献中的一个空白：尽管上值函数与下值函数均作为粘性解存在，但二者相等性仍为开放问题。