[论文解读] A Generalized Nonlocal Calculus with Application to the Peridynamics Model for Solid Mechanics

Bacim Alali, Kuo Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Numerical methods in engineering参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一种广义非局部微积分框架，统一并扩展了用于微元动力学和非局部扩散模型的非局部向量微积分算子。通过将非局部散度、梯度及其伴随算子表述为具有特定核函数的积分算子，作者推导出一般化的分部积分公式和格林恒等式，证明经典微元动力学可优雅地用这些算子表示，并作为关键结果揭示了微元动力学算子的一种更简单形式。

ABSTRACT

A nonlocal vector calculus was introduced in [2] that has proved useful for the analysis of the peridynamics model of nonlocal mechanics and nonlocal diffusion models. A generalization is developed that provides a more general setting for the nonlocal vector calculus that is independent of particular nonlocal models. It is shown that general nonlocal calculus operators are integral operators with specific integral kernels. General nonlocal calculus properties are developed, including nonlocal integration by parts formula and Green's identities. The nonlocal vector calculus introduced in [2] is shown to be recoverable from the general formulation as a special example. This special nonlocal vector calculus is used to reformulate the peridynamics equation of motion in terms of the nonlocal gradient operator and its adjoint. A new example of nonlocal vector calculus operators is introduced, which shows the potential use of the general formulation for general nonlocal models.

研究动机与目标

• 开发一种独立于特定模型（如微元动力学或非局部扩散）的广义非局部向量微积分数学框架。
• 确定非局部积分算子能够模拟经典微分算子所必需的结构和核函数条件。
• 将现有非局部算子（如散度、梯度）统一并推广为单一、一致的微积分框架。
• 利用广义算子重新表述微元动力学运动方程，揭示其更简洁、更易理解的结构。

提出的方法

• 将非局部散度形式化为满足零质量条件的核函数的积分算子：对几乎处处的 y,z，有 ∫κ(x,y,z) dx = 0。
• 通过对称核函数 α(x,y) 定义非局部梯度及其伴随算子，确保其满足反对称性并保持与经典极限的一致性。
• 基于核函数算子定义，推导一般化的非局部分部积分公式和格林恒等式。
• 通过选择特定的核函数形式，证明来自 [2] 的非局部向量微积分是广义框架的一个特例。
• 引入一种使用双重积分核 λ(x,z) 的新型非局部向量微积分，该方法将通量计算推广至点对点相互作用之外的邻域依赖。
• 表明经典微元动力学算子可重写为 L u = -G_α(c₁ G_α* u) - G_α(c₂ G̅_α* u)，揭示其与经典弹性力学中纳维尔算子的类比形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种广义非局部微积分，使其独立于微元动力学或非局部扩散等特定非局部模型？
• RQ2 核函数 κ(x,y,z) 必须满足何种结构条件，才能使非局部散度算子定义良好且在极限下与经典散度一致？
• RQ3 如何将非局部分部积分和格林恒等式推广至 [2] 中特定算子之外的更广范围？
• RQ4 能否利用广义非局部微积分框架更简洁地表达微元动力学算子？
• RQ5 当某一点的贡献依赖于邻域的加权平均而非仅点对时，非局部通量的物理与数学意义是什么？

主要发现

• 广义非局部微积分框架为非局部算子提供了统一的设置，所有此类算子均可表示为具有特定核函数的积分算子。
• 当核函数 α(x,y) 满足反对称性及所需的对称性和零质量条件时，[2] 中的非局部散度与梯度算子可作为特例被恢复。
• 引入一种基于双重积分核 λ(x,z) 的新型非局部向量微积分，使通量贡献可依赖于点的邻域而非仅点对相互作用。
• 证明微元动力学算子 L 具有更简洁、更易理解的形式：L u = -G_α(c₁ G_α* u) - G_α(c₂ G̅_α* u)，其中 G̅_α* 为平均化的伴随梯度算子。
• 广义框架允许在非局部设置下严格推导分部积分与格林恒等式，从而支持对非局部PDE的分析。
• 当相互作用范围 ε_α → 0 时，广义非局部散度退化为经典局部散度算子，确认其与经典微积分的一致性。