[论文解读] A Generalized Quantum Inner Product and Applications to Financial Engineering

Vanio Markov, Charlee Stefanski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出了一种广义的量子内积框架，利用量子振幅和态编码高效计算离散函数的加权和，从而实现对金融风险度量（如风险价值VaR、期望值和部分矩）的快速计算。该方法使用标准量子线路计算线性函数和正态分布，通过干涉和纠缠实现关键金融工程工作负载的量子加速。

ABSTRACT

In this paper we present a canonical quantum computing method to estimate the weighted sum w(k)f(k) of the values taken by a discrete function f and real weights w(k). The canonical aspect of the method comes from relying on a single linear function encoded in the amplitudes of a quantum state, and using register entangling to encode the function f. We further expand this framework by mapping function values to hashes in order to estimate weighted sums w(k)h(f(k)) of hashed function values with real hashes h. This generalization allows the computation of restricted weighted sums such as value at risk, comparators, as well as Lebesgue integrals and partial moments of statistical distributions. We also introduce essential building blocks such as efficient encodings of standardized linear quantum states and normal distributions.

研究动机与目标

• 开发一种用于估计离散函数加权和的规范量子方法，这对于金融工程应用至关重要。
• 通过结合振幅编码和态编码，将量子内积广义化，以计算复杂的金融度量（如VaR和部分矩）。
• 为常见分布（如正态分布、升余弦分布）和函数（如线性函数、恒等函数）提供标准化、可重用的量子构建模块。
• 利用酉编码和干涉，实现期望值和风险度量的高效量子计算。
• 在真实IBM量子硬件上展示可行性，采用抗错误实现。

提出的方法

• 该方法通过寄存器纠缠和振幅编码对离散函数 $ f: \{0, \dots, 2^n - 1\} \to \{0, \dots, 2^m - 1\} $ 进行编码，形成振幅代表权重 $ w_k $ 的叠加态。
• 定义广义内积为 $ \sum_{k=0}^{2^n - 1} w_k f(k) $，通过量子干涉和受控旋转计算，实现对期望值和风险度量的估计。
• 该框架可扩展至哈希函数值 $ \sum w_k h_{f(k)} $，支持比较器和集中度度量（如负函数值个数）的计算。
• 引入用于编码线性函数 $ L_n $、恒等函数以及标准化分布（如正态分布、升余弦分布）的规范线路，使用逆QFT和相位梯度态。
• 使用几何序列态 $ \ket{\gamma_\theta} $ 作为构建模块，通过级联相位门制备，以编码周期性振幅，用于量子傅里叶变换和相位估计算法。
• 通过基于QFT的状态制备和振幅放大，提供正态分布的精确与近似编码，并在IBM Q硬件上进行误差分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过同时使用振幅编码和态编码，构建广义的量子内积，以高效计算离散函数的加权和？
• RQ2 如何利用量子干涉和纠缠来估计金融风险度量（如风险价值VaR和部分矩）？
• RQ3 编码标准化分布（如正态分布和升余弦分布）的最高效量子电路实现是什么？
• RQ4 能否将用于线性函数和恒等函数的规范量子线路作为金融模型中期望值计算的通用构建模块？
• RQ5 该框架在具有实际噪声和读出误差的近期量子硬件上能实现到何种程度？

主要发现

• 在IBM的ibmq_jakarta上，对正态分布下线性函数的期望值进行了估计，其 $ \ket{0} $ 振幅为0.57378，接近模拟值0.60131，读出误差为2.79%。
• 在三量子比特实验中，该方法实现了4.07%的读出分配误差，结果的概率分布与模拟结果高度吻合。
• 广义内积框架通过规范输出选择直接计算风险价值（VaR），避免了迭代或启发式方法。
• 已开发并验证了用于精确和近似编码正态分布与升余弦分布的高效电路。
• 使用 $ L_n $ 和逆QFT编码线性函数的规范方法，可对任意离散函数准确估计期望值，而不仅限于线性函数。
• 该框架通过将函数值映射到基于哈希的加权和，支持勒贝格积分和部分矩的高效计算。