[论文解读] A Generalized Sylvester Problem and a Generalized Fermat-Torricelli Problem

Nguyen Mau Nam, Nguyen Hoang|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2012

Mathematics and Applications参考文献 16被引用 14

一句话总结

本文在范数空间中引入了广义化的西尔维斯特最小覆盖圆问题与费马-托里切利问题，将其建模为涉及扩展球体和距离函数的优化问题。通过凸分析与闵可夫斯基泛函，建立了在目标集与约束集满足几何假设条件下的解的存在性与唯一性充分条件，并证明了目标函数的严格凸性。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study the following problem and its further generalizations: given two finite collections of sets in a normed space, find a ball whose center lies in a given constraint set with the smallest radius that encloses all the sets in the first collection and intersects all the sets in the second one. This problem can be considered as a generalized version of the Sylvester smallest enclosing circle problem introduced in the 19th century by Sylvester which asks for the circle of smallest radius enclosing a given set of finite points in the plane. We also consider a generalized version of the Fermat-Torricelli problem: given two finite collections of sets in a normed space, find a point in a given constraint set that minimizes the sum of the farthest distances to the sets in the first collection and shortest distances (distances) to the sets in the second collection.

研究动机与目标

• 将经典的西尔维斯特最小覆盖圆问题推广至范数空间中，涵盖对任意集合的覆盖与相交约束。
• 将费马-托里切利问题扩展为在约束集下最小化至某些集合的最远距离之和与至其他集合的最近距离之和。
• 利用凸分析工具，在一般范数空间中建立最优解的存在性与唯一性结果。
• 刻画广义问题中目标函数严格凸性的条件，以确保极小化点的唯一性。
• 将广义问题与经典几何问题（如阿波罗尼奥斯的切圆问题）相联系。

提出的方法

• 将广义西尔维斯特问题建模为在约束集 $S$ 上最小化函数 $\mathcal{G}(x) = \max\{C_F(x;\Omega_i), T_F(x;\Theta_j)\}$，其中 $C_F$ 与 $T_F$ 分别为最大时间函数与最小时间函数。
• 将广义费马-托里切利问题建模为在 $S$ 上最小化 $\mathcal{H}(x) = \sum_i C_F(x;\Omega_i) + \sum_j T_F(x;\Theta_j)$。
• 使用闵可夫斯基泛函 $\rho_F(x)$ 表示扩展球体 $D_F(x;r) = x + rF$ 中的距离。
• 通过目标集的闭性、有界性以及空间的紧致性或自反性，证明解的存在性。
• 通过证明在 $F$ 与 $\Theta_j$ 严格凸，且线段不与目标集相交的条件下，$C_F(x;\Omega_i)$ 与 $T_F(x;\Theta_j)$ 严格凸，从而建立 $\mathcal{H}(x)$ 的严格凸性。
• 应用广义微分与凸分析，推导出基于 $S$ 中不同点连线段与集合之间几何分离性的唯一性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义西尔维斯特问题在范数空间中存在解？
• RQ2 在何种条件下，广义费马-托里切利问题可保证具有唯一最优解？
• RQ3 泛函 $\rho_F$ 与集合 $\Omega_i$、$\Theta_j$ 的性质如何影响目标函数的凸性？
• RQ4 广义问题与经典几何问题（如阿波罗尼奥斯的切圆问题）之间存在何种关系？
• RQ5 在 $\mathbb{R}^n$ 中，对于具有欧氏范数的三个球体，广义西尔维斯特问题的解能否显式构造？

主要发现

• 当目标集为闭、有界且凸集，且约束集 $S$ 为闭集时，广义西尔维斯特问题在任意范数空间中均有解。
• 若 $F$ 与所有 $\Theta_j$ 均为严格凸集，$S$ 为凸集，且对任意不同的 $x,y \in S$，存在 $i$ 或 $j$ 使得线段 $L(x,y)$ 不与 $\Omega_i$ 或 $\Theta_j$ 相交，则广义费马-托里切利问题至多有一个解。
• 在所述几何与凸性假设下，广义费马-托里切利问题的目标函数 $\mathcal{H}(x)$ 严格凸，从而确保极小化点的唯一性。
• 当所有目标集为单点集且 $F$ 严格凸时，问题退化为在 $S$ 上最小化 $\sum_i \rho_F(a_i - x)$，若点不共线，则该问题至多有一个解。
• 在自反空间中或当 $S$ 为紧集时，若满足相同条件，广义费马-托里切利问题存在唯一解。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 中具有欧氏范数的三个球体的广义西尔维斯特问题的解，与阿波罗尼奥斯切圆问题的解存在关联。