[论文解读] A generating set for the automorphism group of a graph product of abelian groups

Luis Jaime Corredor, Mauricio Gutiérrez|ArXiv.org|Nov 3, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过标记图和四类自同构（标记图自同构、因子自同构、良定义的支配型转置、部分共轭），为有限生成阿贝尔群的图积的自同构群提供了一个完整的生成集。关键结果是该集合生成了完整的自同构群，且其子集生成了重要的子群 Aut*G。

ABSTRACT

We find a set of generators for the automorphism group of a graph product of finitely generated abelian groups entirely from a certain labeled graph. In addition, we find generators for the important subgroup of star-automorphisms defined in [7]. We follow closely the plan of M. Laurence's paper [11].

研究动机与目标

• 确定有限生成阿贝尔群图积的自同构群的有限生成集。
• 刻画子群 Aut*G 并为其找到一个生成集。
• 将 Laurence 及其他人的框架扩展至包含图积中的有限阿贝尔群。
• 为 Aut(G) 的有限表示提供基础，并将 Whitehead 自同构推广到此设定。

提出的方法

• 从图积 G = W(Γ, o) 构造标记图 (Γ, o)，其中 o 将阶（包括 ∞）分配给顶点。
• 定义四类自同构：标记图自同构、因子自同构、良定义的支配型转置和部分共轭。
• 通过刚性论证和中心化子结构，证明这四类自同构生成完整的自同构群 Aut(G)。
• 利用中心化子定理和循环约化元素的分解，分析自同构及其在支撑集上的作用。
• 定义子群 Aut*G，并证明其生成元为标记图自同构、因子自同构、星型转置和部分共轭。
• 将 Whitehead 自同构推广到此设定，并证明它们生成 Aut(G)，其中经修改的类型 II 生成 Aut*G。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限生成阿贝尔群图积的自同构群的完整且显式的生成集是什么？
• RQ2 子群 Aut*G 如何刻画？它具有哪些生成元？
• RQ3 Whitehead 自同构能否推广到阿贝尔群图积中？它们是否生成完整的自同构群？
• RQ4 自同构如何作用于图积中的循环约化元素及其支撑集？
• RQ5 标记图同构和转置在生成自同构群中起什么作用？

主要发现

• 由标记图自同构、因子自同构、良定义的支配型转置和部分共轭组成的集合 G 生成了完整的自同构群 Aut(G)。
• G 的子集 G*（包含标记图自同构、因子自同构、星型转置和部分共轭）生成了子群 Aut*G。
• 自同构群 Aut(G) 由类型 I 和 II 的 Whitehead 自同构生成，其中经修改的类型 II 生成 Aut*G 的生成元。
• 任一自同构 θ ∈ Aut(G) 的作用由一个图自同构 γ 决定，满足对所有 v ∈ Γ，有 γ(v) ∈ csupp(θ(v))。
• G 中中心化子的结构允许将循环约化元素分解为基本形式，这对证明生成集的有效性至关重要。
• 证明依赖于对补图中最大团数的归纳法，利用极大性和支撑约束条件，证明自同构保持由最大团生成的子群。