[论文解读] A generic $C^1$ map has no absolutely continuous invariant probability measure

Artur Avila, Jairo Bochi|May 29, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 23

一句话总结

本文证明了在紧致流形上的任意 $C^1$ 映射，均不存在绝对连续的不变概率测度（acim）。通过将 Rokhlin 型引理由不变测度推广至非不变测度，并结合基于周期点预像附近线性逼近的扰动方法，作者表明此类映射可被扰动以满足一个暗示 acim 缺失的判别准则，从而确立在 $C^1$ 拓扑下无 acim 的 $C^1$ 映射集合是剩余集。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth compact manifold (maybe with boundary, maybe disconnected) of any dimension $d \ge 1$. We consider the set of $C^1$ maps $f:M o M$ which have no absolutely continuous (with respect to Lebesgue) invariant probability measure. We show that this is a residual (dense $G_δ) set in the $C^1$ topology. In the course of the proof, we need a generalization of the usual Rokhlin tower lemma to non-invariant measures. That result may be of independent interest.

研究动机与目标

• 建立在 $C^1$ 拓扑下无绝对连续不变概率测度（acim）的 $C^1$ 映射集合是剩余集的结论。
• 解决通用 $C^1$ 映射——尤其是扩张映射与微分同胚——是否具有 acim 的问题，基于圆周上已有结果的延伸。
• 在 $C^1$ 动力学背景下，发展并应用非不变测度的 Rokhlin 塔引理非不变版本，针对非奇异、非不变测度。
• 证明 acim 的缺失是 $C^1$ 拓扑下的通用性质，与 KAM 理论中环面上映射的随机存在性形成对比。
• 提供一个通用框架，通过控制迭代下预像的测度，对 $C^1$ 映射进行扰动以避免 acim，方法包括局部线性逼近与 Vitali 覆盖。

提出的方法

• 引入 acim 缺失的判别准则：对任意 $\varepsilon > 0$，存在紧致集 $K$ 满足 $m(K) > 1 - \varepsilon$ 且存在某 $N$ 使得 $m(f^N(K)) < \varepsilon$。
• 通过构造具有受控测度增长的 $N$-良好与 $N$-饱和可测集，将 Rokhlin 塔引理由不变测度推广至非不变测度。
• 使用 Vitali 覆盖论证，从目标区域中选取不相交的方块 $U_0(y)$，确保 $m(Q_0 \setminus \bigcup U_0(y)) \leq \varepsilon m(Q_0)$。
• 通过线性映射 $H_{i,\bar{y}}$ 构造局部扰动 $h_{i,\bar{y}}$，使得 $k$ 次迭代下 $V_i(\bar{y})$ 的像被压缩至测度小于 $\varepsilon \cdot m(U_i(\bar{y}))$ 的小方块 $W_i(\bar{y})$ 中。
• 通过在预像方块 $U_i(\bar{y})$ 上复合 $f$ 与 $h_{i,\bar{y}}$，而在这些集合外部令 $g = f$，定义 $f$ 的全局 $C^1$ 扰动 $g$。
• 验证扰动后的映射 $g$ 满足 $m(M \setminus K) < 4\varepsilon$ 且 $m(g^k K) < \varepsilon$，从而使得 $g$ 属于剩余集 $\mathcal{V}_{4\varepsilon}$，进而证明 acim 缺失的通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致流形上，$C^1$ 拓扑下无 acim 的 $C^1$ 映射集合是否为剩余集？
• RQ2 能否构造一个非不变版本的 Rokhlin 引理，以在缺乏不变性时控制迭代下的测度增长？
• RQ3 acim 的缺失是否在 $C^1$ 扩张映射与 $C^1$ 微分同胚中保持通用？
• RQ4 如何利用周期点预像附近的局部扰动，实现对迭代像测度的全局控制？
• RQ5 尽管在 KAM 理论中环面上映射存在 acim 的概率性结果，acim 的缺失是否仍是 $C^1$ 拓扑下的拓扑通用性质？

主要发现

• 无 acim 的 $C^1$ 映射集合 $\mathcal{R}$ 是 $C^1(M,M)$ 中的稠密 $G_\delta$ 集，因此是剩余集。
• 每个 $C^1$-通用扩张映射均无 acim，将此前在圆周上的结果推广至高维情形。
• 每个 $C^1$-通用微分同胚均无 acim，表明 acim 并非 $C^1$ 范畴下的通用特征。
• 证明构造了 $f$ 的扰动映射 $g$，使得 $m(M \setminus K) < 4\varepsilon$ 且 $m(g^k K) < \varepsilon$，满足 acim 缺失的判别准则。
• 广义 Rokhlin 引理（定理 2）确保存在一个可测集 $U$，其迭代预像互不相交，测度和受控，且具有非不变结构。
• 该扰动技术依赖于局部线性逼近与 Vitali 覆盖，以保证 $C^1$-接近性与测度控制，且对所有 $i$ 与 $\bar{y}$ 均有 $m(W_i(\bar{y}))/m(U_i(\bar{y}))) < \varepsilon$。