[论文解读] A Geometric Approach for Computing the Kernel of a Polyhedron

Tommaso Sorgente, Silvia Biasotti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 2

一句话总结

本文提出了一种几何算法，通过利用可见性约束和凸包计算，高效计算通用多面体的核（即从该点可看见整个多面体的所有点的集合），在剖分分析中相比传统的线性规划方法具有更高的效率。

ABSTRACT

We present a geometric algorithm to compute the geometric kernel of a generic polyhedron. The geometric kernel (or simply kernel) is defined as the set of points from which the whole polyhedron is visible. Whilst the computation of the kernel for a polygon has already been largely addressed in the literature, less has been done for polyhedra. Currently, the principal implementation of the kernel estimation is based on the solution of a linear programming problem. We compare against it on several examples, showing that our method is more efficient in analysing the elements of a generic tessellation. Details on the technical implementation and discussions on pros and cons of the method are also provided.

研究动机与目标

• 为解决尽管二维多边形已有成熟技术，但三维多面体核计算缺乏高效方法的问题。
• 为多面体几何中的核计算开发一种几何替代方法，以替代线性规划。
• 在分析通用剖分元素时提升性能，其中核计算是反复出现的计算任务。
• 提供一种技术上可实现的方法，具有计算效率和几何洞察力的明确优势。

提出的方法

• 该算法通过识别多面体所有面的可见区域的交集来计算核。
• 利用凸包表示并计算每个面的可见性约束。
• 该方法通过面法向量和可见性边界定义的半空间交集，逐步构建核。
• 通过利用几何对偶性和空间分割来减少冗余计算。
• 该方法避免求解完整的线性规划问题，而是专注于可见性和凸几何。
• 实现依赖于稳健的几何数据结构，以处理数值精度和拓扑复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何比线性规划更高效地计算通用多面体的核？
• RQ2 多面体的哪些几何性质可被利用以简化核的计算？
• RQ3 所提出的几何方法在性能和准确性上与现有基于线性规划的方法相比如何？
• RQ4 在哪些场景中——尤其是剖分分析中——几何方法显示出可测量的优势？
• RQ5 与代数优化相比，使用几何可见性推理在实际应用中存在哪些限制和权衡？

主要发现

• 在多个测试案例中，所提出的几何算法在计算效率上优于基于线性规划的方法。
• 该方法通过结合可见性约束和凸包运算，有效计算出核。
• 在涉及大量多面体元素的复杂剖分分析中，性能提升尤为显著。
• 与纯代数方法相比，该几何方法为核的结构提供了更清晰的几何洞察。
• 实现表明该方法在通用多面体输入下具有鲁棒性和可扩展性。
• 该方法通过避免求解完整的线性规划问题，降低了计算开销，尤其在迭代或大规模应用中优势明显。