[论文解读] A geometric approach to quantum circuit lower bounds

Michael A. Nielsen|ArXiv.org|Feb 11, 2005

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 49

一句话总结

本文提出了一种几何框架，通过在 SU(2ⁿ) 流形上使用 Finsler 度量将量子线路建模为测地线，从而证明量子线路的下界。研究表明，最小线路尺寸由从单位元到目标酉矩阵的最短测地线长度下界限定，并识别出保罗i测地线——测地线方程的解——作为计算基下对角酉矩阵的最优解，其中绝大多数此类酉矩阵需要指数级长度的线路。

ABSTRACT

What is the minimal size quantum circuit required to exactly implement a specified n-qubit unitary operation, U, without the use of ancilla qubits? We show that a lower bound on the minimal size is provided by the length of the minimal geodesic between U and the identity, I, where length is defined by a suitable Finsler metric on SU(2^n). The geodesic curves of such a metric have the striking property that once an initial position and velocity are set, the remainder of the geodesic is completely determined by a second order differential equation known as the geodesic equation. This is in contrast with the usual case in circuit design, either classical or quantum, where being given part of an optimal circuit does not obviously assist in the design of the rest of the circuit. Geodesic analysis thus offers a potentially powerful approach to the problem of proving quantum circuit lower bounds. In this paper we construct several Finsler metrics whose minimal length geodesics provide lower bounds on quantum circuit size, and give a procedure to compute the corresponding geodesic equation. We also construct a large class of solutions to the geodesic equation, which we call Pauli geodesics, since they arise from isometries generated by the Pauli group. For any unitary U diagonal in the computational basis, we show that: (a) provided the minimal length geodesic is unique, it must be a Pauli geodesic; (b) finding the length of the minimal Pauli geodesic passing from I to U is equivalent to solving an exponential size instance of the closest vector in a lattice problem (CVP); and (c) all but a doubly exponentially small fraction of such unitaries have minimal Pauli geodesics of exponential length.

研究动机与目标

• 建立一种通用的几何框架，用于在不使用辅助量子比特的情况下证明量子线路尺寸的下界。
• 将离散的量子线路综合问题重新表述为 SU(2ⁿ) 流形上的连续优化问题。
• 利用微分几何——特别是测地线和 Finsler 度量——推导实现酉矩阵所需门数的下界。
• 识别并表征一类测地线（保罗i测地线），这些测地线在计算基下对角酉矩阵中是最优的。
• 利用基于格的复杂性结果，证明对于绝大多数对角酉矩阵，最小线路尺寸呈指数级增长。

提出的方法

• 在 SU(2ⁿ) 上定义 Finsler 度量，以对曲线赋予长度概念，其中曲线长度对应于线路成本。
• 使用测地线方程（一个二阶微分方程）来表征从单位元到目标酉矩阵 U 的最短路径。
• 构造多种 Finsler 度量，其最小测地线可提供线路尺寸的下界，并给出计算其测地线方程的明确程序。
• 将保罗i测地线引入为由保罗i群的等距变换生成的测地线方程的解。
• 应用 Roth 的引理以及向量化技术（vec 和 unvec）分析超算符，并推导出伴随作用的向量化形式。
• 将寻找最小保罗i测地线的问题约化为一个格中的最近向量问题（CVP），该问题已知为 NP-难。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 SU(2ⁿ) 上的几何结构对实现酉矩阵 U 的最小量子线路尺寸进行下界估计？
• RQ2 在什么条件下 SU(2ⁿ) 上的最小测地线是唯一的，何时它是一条保罗i测地线？
• RQ3 计算对角酉矩阵的最小线路尺寸问题是否等价于求解如 CVP 这类困难的格问题？
• RQ4 典型对角酉矩阵的线路尺寸有多大，其中多大比例的此类酉矩阵需要指数级长度的线路？
• RQ5 测地线方法能否提供一种系统性方法，以获得传统线路综合技术无法触及的下界？

主要发现

• 酉矩阵 U 的最小量子线路尺寸由 SU(2ⁿ) 上 Finsler 度量下从 I 到 U 的最短测地线长度下界限定。
• 对于计算基下对角的酉矩阵，若最小测地线唯一，则其必为一条保罗i测地线。
• 从 I 到 U 寻找最小保罗i测地线长度等价于求解一个指数规模的最近向量问题（CVP）实例。
• 除双指数级小的分数外，n 量子比特的所有对角酉矩阵均需长度为指数级的最小保罗i测地线，意味着其线路尺寸呈指数级增长。
• 测地线方法提供了一个连续且光滑的优化框架，可在离散线路搜索失败时仍能获得下界。
• 通过 Roth 的引理，超算符的向量化形式能够以计算上可行的方式推导出伴随作用的向量化形式及测地线方程。