[论文解读] A Geometric Approach to Solve Fuzzy Linear Systems

Nizami Gasilov, Şahin Emrah Amrahov+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2009

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文提出了一种几何方法，用于求解系数矩阵为清晰矩阵、右端项为三角模糊数的模糊线性系统（FLS）。通过将模糊向量建模为n维长方体，并应用线性变换，该方法将解集计算为实向量的模糊集——为解的存在性提供几何解释，特别是在系数矩阵为广义置换矩阵时，解可保证为模糊数。

ABSTRACT

In this paper, linear systems with a crisp real coefficient matrix and with a vector of fuzzy triangular numbers on the right-hand side are studied. A new method, which is based on the geometric representations of linear transformations, is proposed to find solutions. The method uses the fact that a vector of fuzzy triangular numbers forms a rectangular prism in n-dimensional space and that the image of a parallelepiped is also a parallelepiped under a linear transformation. The suggested method clarifies why in general case different approaches do not generate solutions as fuzzy numbers. It is geometrically proved that if the coefficient matrix is a generalized permutation matrix, then the solution of a fuzzy linear system (FLS) is a vector of fuzzy numbers irrespective of the vector on the right-hand side. The most important difference between this and previous papers on FLS is that the solution is sought as a fuzzy set of vectors (with real components) rather than a vector of fuzzy numbers. Each vector in the solution set solves the given FLS with a certain possibility. The suggested method can also be applied in the case when the right-hand side is a vector of fuzzy numbers in parametric form. However, in this case, -cuts of the solution can not be determined by geometric similarity and additional computations are needed.

研究动机与目标

• 解决现有模糊线性系统（FLS）解法在一般条件下无法产生模糊数解的不一致性问题。
• 利用几何直觉阐明为何不同方法在一般情况下会产生非模糊解。
• 提出一种新的解框架，其中解为实向量的模糊集，而非模糊数的向量。
• 建立解保证为模糊数向量的条件。
• 将方法扩展至右端项以参数形式给出的情况，尽管计算成本有所增加。

提出的方法

• 该方法将一组三角模糊数向量建模为n维空间中的长方体。
• 应用线性变换理论，计算该长方体在系数矩阵作用下的像，得到一个变形的平行六面体。
• 解被定义为满足FLS在特定可能度下的所有实向量集合，形成一个模糊集。
• 该方法利用了几何性质：线性变换下平行六面体的像是另一个平行六面体。
• 对于参数形式的模糊右端项，-cuts通过数值积分或采样计算，因为几何相似性不再适用。
• 该方法确保当系数矩阵为广义置换矩阵时，解保证为模糊数向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，模糊线性系统（FLS）的解为模糊数向量而非实向量的模糊集？
• RQ2 为何现有FLS求解方法在一般情况下无法产生模糊数解？
• RQ3 如何利用模糊数的几何结构（作为长方体）系统地计算FLS的解集？
• RQ4 系数矩阵的结构——特别是其为广义置换矩阵——在确保模糊数解中起到何种作用？
• RQ5 当右端项以参数形式给出而非标准三角模糊数时，该方法如何适应？

主要发现

• 当且仅当系数矩阵为广义置换矩阵时，模糊线性系统的解在几何上被证明为模糊数向量。
• 该方法为先前方法在一般情况下无法产生模糊数解提供了清晰的几何解释。
• 解被定义为实向量的模糊集，每个向量以特定可能度满足系统。
• 当右端项为参数形式时，解的-cuts无法通过几何相似性确定，需额外计算。
• 该方法成功扩展至参数模糊数，尽管与标准三角模糊数相比计算复杂度有所增加。
• 该方法通过理论分析与几何推理得到验证，展示了在解表示上的一致性与正确性。