[论文解读] A geometric construction of Getzler's relation

Rahul Pandharipande|ArXiv.org|May 17, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文通过从一个可接受覆盖空间的有理等价关系的推出，对四点椭圆曲线模空间中的格茨勒上同调关系给出了一个几何构造，证明该关系是一个有理等价关系。此外，通过格茨勒方程与WDVV方程，建立了ℙ²上椭圆Gromov-Witten不变量的递推关系，验证了伊鲁吉、霍里与熊的预测。

ABSTRACT

A geometric construction of Getzler's cohomological relation in the moduli space of 4 pointed elliptic curves is given by a push-forward of a natural rational equivalence in a space of admissible covers. In particular, Getzler's relation is shown to be a rational equivalence. The recursion for the elliptic Gromov-Witten invariants of P^2 predicted by Eguchi, Hori, and Xiong from the Virasoro conjecture is proven via Getzler's equation and the WDVV-equations.

研究动机与目标

• 在四点椭圆曲线的模空间中，为格茨勒的上同调关系提供一个几何实现。
• 证明格茨勒的关系可通过可接受覆盖空间的推出，作为有理等价关系出现。
• 利用格茨勒方程与WDVV方程，建立ℙ²上椭圆Gromov-Witten不变量的递推关系。
• 通过Virasoro猜想验证伊鲁吉、霍里与熊关于这些不变量结构的预测。

提出的方法

• 构造一个可接受覆盖空间，参数化具有指定分支点的四次覆盖椭圆曲线。
• 在此可接受覆盖空间中定义一个自然的有理等价关系。
• 对该有理等价关系应用推出映射，得到四点椭圆曲线模空间中的关系。
• 证明由此得到的上同调关系与格茨勒已知的上同调关系一致。
• 利用所得的有理等价关系，推导出ℙ²上椭圆Gromov-Witten不变量的递推关系。
• 将递推关系与WDVV方程结合，证明伊鲁吉、霍里与熊的预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 格茨勒在四点椭圆曲线模空间中的上同调关系能否通过几何手段实现为有理等价关系？
• RQ2 可接受覆盖在构造可下推至模空间关系的有理等价关系中起什么作用？
• RQ3 格茨勒关系的几何构造如何导致ℙ²上Gromov-Witten不变量的递推关系？
• RQ4 WDVV方程与格茨勒关系在多大程度上共同决定了椭圆Gromov-Witten不变量的结构？
• RQ5 该几何构造是否验证了伊鲁吉、霍里与熊关于这些不变量形式的预测？

主要发现

• 通过可接受覆盖空间中的几何构造，证明格茨勒的上同调关系是一个有理等价关系。
• 从可接受覆盖空间中一个典型类的推出，在四点椭圆曲线模空间中得到了所期望的关系。
• 该构造为格茨勒关系提供了自然且几何的起源，将其从上同调层面提升至有理等价层面。
• 利用格茨勒关系的几何形式与WDVV方程，推导出ℙ²上椭圆Gromov-Witten不变量的递推关系。
• 该递推关系验证了基于Virasoro猜想的伊鲁吉、霍里与熊的预测。
• 该结果在模空间的典型关系与Gromov-Witten理论中的枚举不变量之间建立了深刻的联系。