[论文解读] A geometric quantization of the Kostant-Sekiguchi correpondence for scalar type unitary highest weight representations

Jan Möllers|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用 8

一句话总结

本文通过在 $\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 中 $K_{\mathbb{C}}$-幂零轨道的闭包上构造平方可积全纯函数的 Fock 空间，实现了对管型赫米特李群的标量型单位酉最高权表示的 Kostant–Sekiguchi 对应的几何量子化。关键贡献在于利用乔丹代数上的多变量 $I$-、$K$- 和 $J$-修正贝塞尔函数作为积分核与再生核，显式构造了一个广义 Segal–Bargmann 变换，作为 $L^2(\mathcal{O})$ 上的 Schrödinger 模型与新 Fock 模型之间的 intertwining 算子。

ABSTRACT

For any Hermitian Lie group $G$ of tube type we give a geometric quantization procedure of certain $K_{\mathbb{C}}$-orbits in $\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ to obtain all scalar type highest weight representations. Here $K_{\mathbb{C}}$ is the complexification of a maximal compact subgroup $K\subseteq G$ with corresponding Cartan decomposition $\mathfrak{g}=\mathfrak{k}+\mathfrak{p}$ of the Lie algebra of $G$. We explicitly realize every such representation $π$ on a Fock space consisting of square integrable holomorphic functions on its associated variety $Ass(π)\subseteq\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$. The associated variety $Ass(π)$ is the closure of a single nilpotent $K_{\mathbb{C}}$-orbit $\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}\subseteq\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ which corresponds by the Kostant-Sekiguchi correspondence to a nilpotent coadjoint $G$-orbit $\mathcal{O}^G\subseteq\mathfrak{g}^*$. The known Schrödinger model of $π$ is a realization on $L^2(\mathcal{O})$, where $\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}^G$ is a Lagrangian submanifold. We construct an intertwining operator from the Schrödinger model to the new Fock model, the generalized Segal-Bargmann transform, which gives a geometric quantization of the Kostant-Sekiguchi correspondence (a notion invented by Hilgert, Kobayashi, Ørsted and the author). The main tool in our construction are multivariable $I$- and $K$-Bessel functions on Jordan algebras which appear in the measure of $\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}$, as reproducing kernel of the Fock space and as integral kernel of the Segal-Bargmann transform. As a corollary to our construction we also obtain the integral kernel of the unitary inversion operator in the Schrödinger model in terms of a multivariable $J$-Bessel function as well as explicit Whittaker vectors.

研究动机与目标

• 为管型赫米特李群的标量型单位酉最高权表示提供一种几何与解析的构造方法。
• 在关联簇 $\operatorname{Ass}(\pi) \subseteq \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 上实现这些表示，该簇是 $K_{\mathbb{C}}$-幂零轨道的闭包，且为全纯函数的 Fock 空间。
• 在 $L^2(\mathcal{O})$ 上的 Schrödinger 模型与新 Fock 模型之间显式构造一个 intertwining 算子（广义 Segal–Bargmann 变换），从而几何化地实现 Kostant–Sekiguchi 对应。
• 利用乔丹代数上的多变量贝塞尔函数推导出酉反演算子的积分核与显式 Whittaker 向量。

提出的方法

• Fock 空间被构造为 $\operatorname{Ass}(\pi) \subseteq \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 上平方可积全纯函数的空间，配备由 $K_{\mathbb{C}}$-轨道测度导出的贝塞尔–费舍尔内积。
• 群在 Fock 空间上的酉作用通过与李代数相关的微分算子实现，再生核以乔丹代数上的 $K$-贝塞尔函数表示。
• 广义 Segal–Bargmann 变换被构造为一个积分算子，其核由 $I$-贝塞尔函数构成，将 $L^2(\mathcal{O})$ 映射到 Fock 空间，并保持 Schrödinger 与 Fock 实现之间的 intertwining 性质。
• 该构造依赖于乔丹代数上的多变量 $I$-、$K$- 和 $J$-贝塞尔函数，它们自然地出现在 $\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}$ 的测度密度、Fock 空间的再生核以及变换的积分核中。
• 该方法利用 Kostant–Sekiguchi 对应，将 $\mathfrak{g}^*$ 中的幂零 $G$-轨道与 $\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 中的幂零 $K_{\mathbb{C}}$-轨道联系起来，其中 $\operatorname{Ass}(\pi)$ 是此类轨道的闭包。
• 通过将表示空间分解为 $\mathfrak{so}(n-m)$-不变子空间，分析了 $\mathfrak{so}(2,n)$ 的分支律，每个子空间同构于 $\mathbb{C}[Z_1,\ldots,Z_m] \otimes \mathcal{H}^k(\mathbb{C}^{n-m})$，并证明作用通过 $\mathrm{d}\pi_{\lambda+k}^{\mathfrak{so}(2,m)}$ 因子化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对标量型单位酉最高权表示实现 Kostant–Sekiguchi 对应的几何量子化？
• RQ2 Schrödinger 模型与新 Fock 模型之间 intertwining 算子（广义 Segal–Bargmann 变换）的显式形式是什么？
• RQ3 乔丹代数上的多变量贝塞尔函数如何自然地出现在测度、再生核与变换的积分核中？
• RQ4 $\mathfrak{so}(2,n)$ 限制到 $\mathfrak{so}(2,m) \times \mathfrak{so}(n-m)$ 时，分支律的结构是什么？哪些分量属于全纯离散系列？
• RQ5 Schrödinger 模型中酉反演算子的积分核是什么？它与贝塞尔函数有何关联？

主要发现

• 本文为管型赫米特李群的每个标量型单位酉最高权表示构造了 Fock 模型，其定义在 $\operatorname{Ass}(\pi) \subseteq \mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$ 上的平方可积全纯函数空间，其中 $\operatorname{Ass}(\pi)$ 是 $K_{\mathbb{C}}$-幂零轨道的闭包。
• 广义 Segal–Bargmann 变换被显式实现为一个积分算子，其核由乔丹代数上的 $I$-贝塞尔函数给出，从而提供了一个从 Schrödinger 模型到 Fock 模型的酉 intertwining 映射。
• Schrödinger 模型中酉反演算子的积分核被证明可用乔丹代数上的多变量 $J$-贝塞尔函数表达。
• 通过 $K$-贝塞尔函数显式构造了 Whittaker 向量，从而在表示空间中给出了这些特殊向量的解析实现。
• 对于 $\mathfrak{so}(2,n)$，在 $\mathfrak{so}(2,m) \times \mathfrak{so}(n-m)$ 下的分支律分解为 $\bigoplus_{k=0}^\infty \mathrm{d}\pi_{\lambda+k}^{\mathfrak{so}(2,m)} \boxtimes \mathcal{H}^k(\mathbb{R}^{n-m})$，其中 $\lambda = \frac{n-2}{2}$，且根据 $k$ 的不同，分量属于连续 Wallach 集或全纯离散系列。
• 当 $2m < n$ 时，表示 $\mathrm{d}\pi_{\lambda}^{\mathfrak{so}(2,n)}$ 包含非全纯离散系列分量，表明分支律同时包含全纯与非全纯表示。