[论文解读] A George Szekeres Formula for Restricted Partitions

L. Bruce Richmond|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文使用 George Szekeres 的圆法与鞍点技术，推导出将整数 $ n $ 划分为至多 $ j $ 个部分、每个部分不超过 $ r $ 的整数分拆数的渐近公式。结果表明，一个随机的偶数 $ n $ 的分拆为图的度序列（即对应于简单图的度序列）的概率为 $ O( an^{-1/2}n) $，并利用概率论与解析数论工具，精确给出了秩分布的独立性与误差界。

ABSTRACT

We derive an asymptotic formula for $A(n,j,r)$ the number of integer partitions of $n$ into at most $j$ parts each part $\le r$. We assume $j$ and $r$ are near their mean values. We also investigate the second largest part, the number of parts $\ge 2$, etc. We show that the fraction of the partitions of an even integer $n$ that are graphical, ie. whose parts form the degree sequence of a simple graph, is $O(\ln^{-1/2} n)$. Probabilistic results are used in our discussion of graphical partitions. The George Szekeres circle method is essential for our asymptotic results on partitions. We determine the distributions defined by the successive ranks of partitions, generalizing the result of Erdos and Richmond for the rank of a partition.

研究动机与目标

• 推导当 $ j $ 与 $ r $ 接近其平均值时，$ A(n,j,r) $（即 $ n $ 划分为至多 $ j $ 个部分、每个部分 $ \leq r $ 的整数分拆数）的渐近公式。
• 分析整数分拆中连续秩的分布，推广 Erdős 与 Richmond 关于分拆秩的结果。
• 研究一个随机偶数 $ n $ 的分拆为图的度序列（即其部分构成简单图的度序列）的概率。
• 改进分拆生成函数鞍点法的误差估计，实现 $ O(n^{-1/7}) $ 的误差项。
• 建立在典型分拆中最大部分与部分数的渐近独立性。

提出的方法

• 使用生成函数 $ \sum_{n=0}^\infty A(n,j,r)x^n = \prod_{\nu=1}^r \frac{1 - x^{j+\nu}}{1 - x^\nu} $，即高斯二项式系数。
• 应用 Szekeres 圆法，将 $ A(n,j,r) $ 表示为半径为 $ e^{-\alpha} $ 的圆周上的围道积分，其中 $ \alpha = \pi / \sqrt{6n} $。
• 采用鞍点法近似该积分，将被积函数的对数按 $ \theta $ 的幂展开，并估计 $ |\theta| \leq \theta_0 = n^{-5/7} $ 范围内的主要贡献。
• 利用柯西定理与相位函数二阶与三阶导数的渐近分析，控制误差项，证明尾部积分可忽略。
• 应用 Esseen 不等式，界定独立秩分布随机变量和的尾部概率，从而导出图分拆的界。
• 利用伽马函数与拉普拉斯变换技术，推导第 $ k $ 个连续秩 $ r_k(t) $ 的密度，证明秩分布的独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ j $ 与 $ r $ 接近其平均值时，$ A(n,j,r) $（即 $ n $ 划分为至多 $ j $ 个部分、每个部分 $ \leq r $ 的整数分拆数）的渐近行为如何？
• RQ2 整数分拆中连续秩的分布之间有何关系？能否证明其相互独立？
• RQ3 一个随机偶数 $ n $ 的分拆为图的度序列（即其部分构成简单图的度序列）的概率是多少？
• RQ4 能否更精确地界定 $ A(n,j,r) $ 的鞍点近似中的误差项，特别是 $ O(n^{-1/7}) $？
• RQ5 在渐近情形下，分拆中最大部分的分布是否与部分数的分布渐近独立？

主要发现

• 当 $ r_k(t) = \lfloor \sqrt{6n}/\pi \cdot t_k \rfloor $ 时，具有该秩的分拆数渐近为 $ P(n) \cdot \frac{\pi}{\sqrt{6n}} \cdot \frac{\Gamma(2k)}{\Gamma^2(k)} \cdot \left(1 + e^{-t_k}\right)^{-2k} \left(1 + e^{t_k}\right)^{-2k} $。
• 连续秩 $ r_k(t) $ 的分布相互独立，从而可对有限个 $ k $ 进行联合渐近分析。
• 第 $ k $ 个秩分布的方差满足 $ \sigma_k^2 \sim \pi k^{-1}/2 $，三阶绝对矩满足 $ \rho_k \sim 12k^{-3/2}\sqrt{\pi} $。
• 秩分布之和的尾部概率被控制在 $ O(\ln^{-1/2}n) $ 以内，从而得出：一个随机偶数 $ n $ 的分拆为图的概率为 $ O(\ln^{-1/2}n) $。
• 鞍点近似中 $ A(n,j,r) $ 的误差项为 $ O(n^{-1/7}) $，优于先前估计。
• 在典型分拆中，最大部分与部分数的分布渐近独立，确认了文献中此前未被建立的结果。