[论文解读] A Gillespie algorithm for non-Markovian stochastic processes: Laplace transform approach

Naoki Masuda, Luis E. C. Rocha|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Complex Network Analysis Techniques被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的Gillespie算法，用于非马尔可夫过程，利用拉普拉斯变换对具有完全单调生存函数的更新过程进行建模，从而实现对长尾事件间隔时间分布的高效模拟。该方法在速度上优于现有方法，并能准确捕捉事件间隔时间之间的正相关性，即使在经验观测到的相关性水平下，对流行病传播动力学的定量影响也极小。

ABSTRACT

The Gillespie algorithm provides statistically exact methods to simulate stochastic dynamics modelled as interacting sequences of discrete events including systems of biochemical reactions or earthquakes, networks of queuing processes or spiking neurons, and epidemic and opinion formation processes on social networks. Empirically, inter-event times of various human activities, in particular human communication, and some natural phenomena are often distributed according to long-tailed distributions. The Gillespie algorithm and its extant variants either assume the Poisson process, which produces exponentially distributed inter-event times, not long-tailed distributions, assume particular functional forms for time courses of the event rate, or works for non-Poissonian renewal processes including the case of long-tailed distributions of inter-event times but at a high computational cost. In the present study, we propose an innovative Gillespie algorithm for renewal processes on the basis of the Laplace transform. It uses the fact that a class of point processes is represented as a mixture of Poisson processes with different event rates. The method allows renewal processes whose survival function of inter-event times is completely monotone functions and works faster than a recently proposed Gillespie algorithm for general renewal processes. We also propose a method to generate sequences of event times with a given distribution of inter-event times and a tunable amount of positive correlation between inter-event times. We demonstrate our algorithm with exact simulations of epidemic processes on networks. We find that positive correlation in inter-event times modulates dynamics but in a quantitatively minor way with the amount of positive correlation comparable with empirical data.

研究动机与目标

• 开发一种高效且统计精确的算法，用于模拟具有长尾事件间隔时间分布的非马尔可夫随机过程。
• 克服现有Gillespie算法的局限性，这些算法假设事件间隔时间为指数分布，或在一般更新过程中的计算成本过高。
• 在保持目标边缘分布不变的前提下，实现事件间隔时间之间可调正相关性的事件序列模拟。
• 通过在具有现实人类交互模式的网络上模拟流行病传播过程，证明该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法将一类点过程表示为事件率随机变化的泊松过程的混合，利用事件间隔时间分布的拉普拉斯变换。
• 利用完全单调生存函数对应于指数分布混合的性质，通过混合参数的逆变换抽样实现精确抽样。
• 该算法通过首先从混合分布中抽取一个速率，然后以该速率生成指数分布的事件时间来抽样事件时间。
• 通过利用完全单调函数的解析结构并进行拉普拉斯变换求逆，避免了先前方法的高计算成本。
• 通过在混合过程中引入连续速率之间的依赖关系，实现事件间隔时间的关联性生成。
• 通过在各种事件间隔时间分布和相关结构下对网络上流行病传播的精确模拟，对方法进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种Gillespie算法，以高效方式模拟具有长尾事件间隔时间分布的非马尔可夫过程，而无需依赖泊松假设？
• RQ2 事件间隔时间之间的正相关性如何影响网络上流行病传播的动力学？
• RQ3 所提出的算法能否在保持统计精确性的前提下，生成具有给定事件间隔时间分布和可调相关性的事件序列？
• RQ4 与现有方法相比，该新算法在一般更新过程中的计算效率如何？
• RQ5 人类交互模式中的相关性在多大程度上改变了网络模型中流行病传播的动力学？

主要发现

• 所提出的算法在事件间隔时间的生存函数为完全单调时，相比现有Gillespie算法，实现了更快的模拟速度，尤其适用于一般更新过程。
• 该方法能够精确模拟具有指定事件间隔时间分布且连续间隔之间具有可控正相关性的事件序列。
• 即使在与经验数据相当的相关性水平下，事件间隔时间的正相关性对流行病动力学的影响也仅表现为定量变化。
• 通过结合长尾事件间隔时间分布与可调相关性，该模型成功捕捉了现实的人类通信模式。
• 基于拉普拉斯变换的方法为复杂系统中非泊松更新过程的模拟提供了一般性且计算高效的框架。