[论文解读] A Ginsparg-Wilson approach to lattice CP symmetry, Weyl and Majoranna fermions, and the Higgs mechanism

Nigel Cundy|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2010

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文通过推导一种修正的晶格 $Χ$-对称性，统一了格点 $Χ$-对称性的两种方法——Ginsparg-Wilson 方法与重整化群方法，该修正对称性在保持不变性的同时允许非局域性。该工作在格点上实现了外尔费米子与马约拉纳费米子的构造，并解决了在希格斯机制中出现的非局域性问题，表明修正的 $Χ$-对称性可避免标准 $Χ$-对称性在格点手征规范场论中的失效。

ABSTRACT

Recently, two solutions have been proposed to the long standing problem of $\mathcal{CP}$-symmetry on the lattice, which is particularly evident when considering the construction of chiral gauge theories. The first, based on a lattice modification of $\mathcal{CP}$ was presented by Igarashi and Pawlowski; the second by myself using the renormalisation group and Ginsparg-Wilson relation. In this work, I combine the two approaches and show that they are each part of a more general framework related to an underlying renormalisation group. I continue by formulating Weyl and Majorana fermions on the lattice, and discussing applications to the fermion propagator in the presence of the Higgs field.

研究动机与目标

• 为解决格点上 $Χ$-对称性长期存在的问题，特别是标准 $Χ$-对称性在手征规范场论中失效的问题。
• 将现有的两种方法——Ginsparg-Wilson 与重整化群——统一到一个单一的格点 $Χ$-对称性框架中。
• 利用修正的 $Χ$-对称性在格点上构造外尔与马约拉纳费米子。
• 解决在格点场论中应用标准 $Χ$-对称性时导致夸克传播子出现非局域位移的问题。
• 证明修正的 $Χ$-对称性在保持作用量与可观测量不变性的同时，允许使用非局域生成元。

提出的方法

• 利用 Ginsparg-Wilson 关系与重整化群阻塞变换，从连续理论推导出一种修正的格点 $Χ$-对称性。
• 应用阻塞矩阵 $B$、$\overline{B}$ 与 $\alpha$ 在不同尺度间变换费米子场，同时保持手征对称性。
• 通过重整化群阻塞构造重叠狄拉克算符，将其与固定点作用量联系起来。
• 通过涉及 $W$、$\gamma_5$ 与 $\text{sign}(K)$ 的非局域变换定义修正的 $Χ$-对称性生成元，确保作用量的不变性。
• 以 $|H_+\rangle$、$|H_-\rangle$ 与 $|\phi_0\rangle$、$|\phi_2\rangle$ 表示 $\gamma_R^{(\eta)}$ 与 $\gamma_L^{(\eta)}$ 的本征矢与本征值方程。
• 建立零模与非零模在 $Χ$-对称性下的变换规则，表明 $\mathcal{CP}: \gamma_R^{(\eta)} = -W^{-1}(\overline{B}^{(-\eta)}\gamma_5(\overline{B}^{(-\eta)})^{-1})^T W$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种一致的格点 $Χ$-对称性，以避免手征规范场论中标准 $Χ$-对称性的失效？
• RQ2 如何在保持手征对称性的前提下，一致地在格点上构造外尔与马约拉纳费米子？
• RQ3 重整化群在构造格点手征费米子与修正 $Χ$-对称性中起到什么作用？
• RQ4 为何标准 $Χ$-对称性在格点上会导致夸克传播子出现非局域位移？这一问题如何解决？
• RQ5 是否可能在允许使用非局域生成元的同时，保持作用量与可观测量在 $Χ$-对称性下的不变性？

主要发现

• 修正的格点 $Χ$-对称性保持了所有作用量与可观测量的不变性，从而解决了格点手征规范场论中标准 $Χ$-对称性失效的问题。
• 格点 $Χ$-对称性生成元是非局域的，如涉及 $W$、$\overline{B}^{(-\eta)}$ 与 $\gamma_5$ 的变换规则所示，其无法表示为局部算符。
• $\gamma_R^{(\eta)}$ 的本征矢可表示为对 $|g_+\rangle$、$|g_-\rangle$ 基的旋转，旋转角为 $\alpha^{(\eta)} = (\theta + (\eta+1)(\pi/2 - \theta))/2$，从而确保了正确的手征结构。
• 零模及其对应模在 $Χ$-对称性下以相反手征性变换，即 $\langle \phi_0^{CP}|\gamma_5^{CP}|\phi_0^{CP}\rangle = -\langle \phi_0|\gamma_5|\phi_0\rangle$，证实了非平凡的变换行为。
• $Χ$-对称性下 $B^{(\eta)}$ 与 $\overline{B}^{(\eta)}$ 的变换规则为 $\mathcal{CP}: B^{(\eta)} = W(\overline{B}^{(-\eta)})^T W^{-1}$ 与 $\mathcal{CP}: \overline{B}^{(\eta)} = W(B^{(-\eta)})^T W^{-1}$，表明对称性生成元具有非局域性。
• 修正的 $Χ$-对称性允许在外尔与马约拉纳费米子在格点上的一致构造，且明确给出了 $\gamma_R^{(\eta)}$ 与 $\gamma_L^{(\eta)}$ 关于 $B^{(\eta)}$ 与 $\overline{B}^{(\eta)}$ 的表达式。