[论文解读] A Global Hartman-Grobman Theorem

X. Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文通过在双曲平衡点的吸引域（或排斥域）整个区域上构造全局同胚，将经典的Hartman-Grobman定理进行推广，利用坐标变换将非线性系统转化为线性系统。该变换通过涉及截断函数的流积分定义，当所有特征值位于复平面左半部分或右半部分时，被证明是全局微分同胚。

ABSTRACT

We showed that for any bounded neighborhood of a hyperbolic equilibrium point $x_0$, there is a transformation which is locally homeomorphism, such that the system is changed into a linear system in this neighborhood. If the eigenvalues of $Df(x_0)$ are all located in the left-half complex plane, then there is a homeomorphism on the whole region of attraction such that the nonlinear system on the region of attraction is changed into a linear system under such a coordinate change.

研究动机与目标

• 将局部Hartman-Grobman定理推广至双曲平衡点的全局吸引域或排斥域。
• 建立存在全局坐标变换以线性化非线性系统的条件。
• 通过在所有特征值位于左半平面时于吸引域内构造全局同胚，克服局部微分同胚的局限性。
• 利用流积分和光滑截断函数显式构造共轭变换。
• 证明该变换在吸引域上是全局同胚，确保映射及其逆映射的可逆性与连续性。

提出的方法

• 定义一个光滑截断函数 α(x)，使其在半径 M 与 M+ε 之间从 1 降至 0，从而将非线性项局部化。
• 构造一个修改后的非线性向量场 Ŵ(x) = W(α(x)x)，以在有界邻域 N_M 内局部化扰动。
• 将变换 H(x) 定义为 x 加上形如 ∫₀^∞ e^{-Ps} Ŵ₁(ϕ_s(x)) ds 和 ∫_{-∞}^0 e^{-Ns} Ŵ₂(ϕ_s(x)) ds 的积分，其中使用了流 ϕ_t(x)。
• 利用反函数定理证明 H 在原点附近是局部同胚，因为 DH(0) = I。
• 通过验证导数链式法则，证明在 H 下，非线性系统 ẋ = f(x) 在 N_M 内转化为线性系统 ẏ = Ay。
• 通过利用流的连续性和渐近稳定性，证明 H 可全局延拓至整个吸引域，且 H 是双射、连续且具有连续逆映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hartman-Grobman定理能否超越局部邻域，推广至双曲平衡点的整个吸引域？
• RQ2 在何种条件下，存在一个全局同胚，使得非线性系统在其吸引域上可线性化？
• RQ3 是否可以利用流积分和截断函数显式构造一个全局共轭映射？
• RQ4 当有界区域内存在多个平衡点时，为何该变换无法成为全局同胚？
• RQ5 谱性质（左半平面或右半平面的特征值）如何影响系统的全局线性化？

主要发现

• 对于任意双曲平衡点的有界邻域 N_M，存在一个局部同胚 H，使得非线性系统 ẋ = f(x) 在 N_M 内被线性化为 ẏ = Ay。
• 当 Df(0) 的所有特征值位于复平面左半部分时，变换 H 可延拓为整个原点吸引域上的全局同胚。
• 全局共轭映射 H 构造为 H(x) = x + ∫₀^∞ e^{-Ps} Ŵ₁(ϕ_s(x)) ds - ∫_{-∞}^0 e^{-Ns} Ŵ₂(ϕ_s(x)) ds，利用光滑截断函数对非线性项进行局部化。
• 映射 H 是从吸引域到 ℝⁿ 的全局微分同胚，确保非线性系统与线性化系统拓扑共轭。
• 逆映射 H⁻¹ 连续，且由于流的连续性，H 和 H⁻¹ 均关于初值连续。
• 在特殊情形下，若 ∫₀^∞ e^{-τA}W(ϕ_τ(x)) dτ 收敛，则变换简化为 h(x) = ∫₀^∞ e^{-τA}W(ϕ_τ(x)) dτ，从而在无需截断函数的情况下实现全局共轭。