[论文解读] A global theory of algebras of generalized functions II: tensor distributions

Michael Grosser, Michael Kunzinger+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2009

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 43被引用 21

一句话总结

本文通过将微分同胚不变的柯尔莫布代数扩展至张量对象，发展了光滑流形上广义张量场的全局理论，借助内在几何构造克服了施瓦茨不可能性结果。关键贡献在于将分布张量场共形嵌入一个广义张量场的通用代数中，该嵌入保持光滑性并与李导数可交换，从而在低正则性时空中的非线性分布几何与广义相对论中实现应用。

ABSTRACT

We extend the construction of [19] by introducing spaces of generalized tensor fields on smooth manifolds that possess optimal embedding and consistency properties with spaces of tensor distributions in the sense of L. Schwartz. We thereby obtain a universal algebra of generalized tensor fields canonically containing the space of distributional tensor fields. The canonical embedding of distributional tensor fields also commutes with the Lie derivative. This construction provides the basis for applications of algebras of generalized functions in nonlinear distributional geometry and, in particular, to the study of spacetimes of low differentiability in general relativity.

研究动机与目标

• 将广义函数代数的全局理论扩展至光滑流形上的张量场。
• 通过内在几何构造，解决张量情形下施瓦茨不可能性结果带来的障碍。
• 构建一个广义张量场的通用代数，其自然包含分布张量场。
• 确保分布张量场到广义代数的共形嵌入与李导数可交换，从而保持几何一致性。
• 为非线性分布几何提供基础，并应用于低可微性时空的广义相对论。

提出的方法

• 使用内在定义的构建块，在流形上构造微分同胚不变的完整柯尔莫布代数，推广先前工作中的标量情形。
• 将广义张量场定义为在积流形上拉回丛的截面，利用光滑映射的指数律。
• 利用传输算子和 bornological 向量空间中的便利微积分，确保光滑性与分布极限的一致性。
• 将关联性定义为广义与分布张量场之间的兼容性工具，确保与经典分布理论的向后一致性。
• 建立分布张量场到广义代数的共形嵌入，该嵌入保持光滑性并可与李导数交换。
• 利用向量丛拉回结构与局部截面的一致族，全局定义并表征广义张量场。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在光滑流形上构造一个全局的、微分同胚不变的广义张量场代数，使其扩展分布张量场？
• RQ2 如何以几何且一致的方式规避张量积分布时的施瓦茨不可能性结果？
• RQ3 分布张量场到广义代数的共形嵌入是否保持李导数运算？
• RQ4 便利微积分与 bornological 同构在确保广义张量场光滑性方面起到什么作用？
• RQ5 如何定义广义与分布张量场之间的关联性，以确保与经典分布理论的兼容性？

主要发现

• 构建了一个广义张量场的通用代数，其自然包含分布张量场空间，解决了柯尔莫布理论中缺乏自然张量积的问题。
• 分布张量场到广义代数的共形嵌入在便利微积分意义下是光滑的，确保与光滑结构的一致性。
• 该嵌入与李导数可交换，保持了微分同胚下的几何一致性。
• 通过拉回丛与一致局部截面的内在几何结构，本理论克服了张量情形下的施瓦茨不可能性结果。
• 定义了广义与分布张量场之间的关联性，为经典分布理论提供了桥梁，实现了向后兼容性。
• 该构造依赖于 bornological 同构与指数律，确保广义张量场作为适当向量丛的光滑截面被良好定义。