[论文解读] A gravity interpretation for the Bethe Ansatz expansion of the $\mathcal{N}=4$ SYM index

Ofer Aharony, Francesco Benini+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 108被引用 15

一句话总结

本文建立了 $σ=4$ SYM 中等角动量情况下 BAE 解与在 AdS₅×Sµ 上的 IIB 超引力中复欧几里得黑洞解之间的一一对应关系，表明在两侧均精确包含了经典 $N^2$ 阶重力作用量以及来自卷绕 D3-膜的非微扰 $1/N$ 修正。当包含非微扰效应时，匹配关系完全精确，从而排除了 BAE 谱中不存在的额外重力解。

ABSTRACT

The superconformal index of the $\mathcal{N}=4$ SU(N) supersymmetric Yang-Mills theory counts the 1/16-BPS states in this theory, and has been used via the AdS/CFT correspondence to count black hole microstates of 1/16-BPS black holes. On one hand, this index may be related to the Euclidean partition function of the theory on $S^3 imes S^1$ with complex chemical potentials, which maps by the AdS/CFT correspondence to a sum over Euclidean gravity solutions. On the other hand, the index may be expressed as a sum over solutions to Bethe Ansatz Equations (BAEs). We show that the known solutions to the BAEs that have a good large $N$ limit, for the case of equal chemical potentials for the two angular momenta, have a one-to-one mapping to (complex) Euclidean black hole solutions on the gravity side. This mapping captures both the leading contribution from the classical gravity action (of order $N^2$), as well as non-perturbative corrections in $1/N$, which on the gravity side are related to wrapped D3-branes. Some of the BA solutions map to orbifolds of the standard Euclidean black hole solutions (that obey exactly the same boundary conditions as the other solutions). A priori there are many more gravitational solutions than Bethe Ansatz solutions, but we show that by considering the non-perturbative effects, the extra solutions are ruled out, leading to a precise match between the solutions on both sides.

研究动机与目标

• 理解 $σ=4$ SYM 中超共形指数的重力诠释，即作为复欧几里得重力解的求和。
• 在 AdS/CFT 对应中调和场论中贝特方程展开的指数与重力解之间的关系。
• 表明场论中来自卷绕 D3-膜的非微扰 $1/N$ 修正可消除 BAE 谱中未包含的虚假重力解。
• 在 BAE 解与物理上稳定、可实现的重力解（包括标准黑洞的对称化版本）之间建立精确的一一映射。
• 阐明指数中复化学势的作用，解决此前熵计数不一致的问题。

提出的方法

• 将超共形指数与在 $S^3 \times S^1$ 上的路径积分联系起来，引入复化学势，通过 AdS/CFT 对应关系，该路径积分对应于渐近 AdS₅×Sµ 解的求和。
• 分析 $\mathcal{N}=4$ SYM 在等角动量下贝特方程（BAEs）的大 $N$ 极限，识别出具有良好大 $N$ 行为的大 $N$ 解。
• 将 BAE 解映射到五维最小规范超引力中的复欧几里得黑洞解，证明其作用量与 $1/N$ 修正完全一致。
• 通过重力路径积分中的卷绕 D3-膜瞬子计算非微扰修正，表明这些修正恰好排除了 BAE 谱中不存在的额外重力解。
• 利用提升至十维 IIB 超引力及 D3-膜作用量，计算 D3-膜对生成函数的贡献，与场论结果精确匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 AdS/CFT 对应中，$\mathcal{N}=4$ SYM 中贝特方程的解如何映射到重力解？
• RQ2 为何某些经典上有效的复欧几里得重力解并不对超共形指数有贡献？
• RQ3 非微扰 $1/N$ 修正在选择与 BAE 对应的物理重力解中起什么作用？
• RQ4 是否可以将指数的完整 $1/N$ 展开与包含卷绕 D3-膜的重力解求和精确匹配？
• RQ5 重力理论中对称化黑洞解如何对应于 BAE 解中 $m>1$ 的情形？

主要发现

• 具有良好大 $N$ 极限的 BAE 解与重力对偶中复欧几里得黑洞解（包括标准黑洞的对称化版本）之间存在一一对应关系。
• 从 BAE 解计算的经典重力作用量（$N^2$ 阶）与相应重力解的在壳作用量完全一致。
• 场论中来自卷绕 D3-膜的非微扰 $1/N$ 修正恰好排除了 BAE 谱中不存在的额外重力解。
• 十维 IIB 超引力中 D3-膜作用量给出的贡献 $S_{\text{D3}} = 2\pi N \frac{\Delta_{\text{g},b}\Delta_{\text{g},c}}{\sigma_{\text{g}}\tau_{\text{g}}}$ 与 BAE 对第二类解的结果完全匹配。
• 匹配关系在主导项 $N^2$ 和次主导项 $1/N$ 修正中均成立，证实了场论与重力描述之间的一致性。