[论文解读] A Groebner basis for the secant ideal of the second hypersimplex

Seth Sullivant|ArXiv.org|Apr 17, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在任意循环项序下计算了第二双单纯形 Δ(2,n) 的环理想所关联的割线理想的 Gröbner 基，证明了初始理想需要次数为奇数的多项式，最高达 n 次。这证实了循环项序的 2-愉悦性，解决了 Drton、Sturmfels 和 Sullivant 的一个猜想，并进一步利用主多项式和非对角子式，为该理想的符号平方建立了 Gröbner 基。

ABSTRACT

We determine a Groebner basis for the secant ideal of the toric ideal associated to the second hypersimplex, with respect to any circular term order. The Groebner basis of the secant ideal requires polynomials of odd degree up to n. This shows that the circular term order is 2-delightful, resolving a conjecture of Drton, Sturmfels, and the author. The proof uses Groebner degenerations for secant ideals, combinatorial characterizations of the secant ideals of monomial ideals, and the relations between secant ideals and prolongations.

研究动机与目标

• 计算与第二双单纯形 Δ(2,n) 关联的环理想的割线理想 $I_{n}^{ ext{\{2\}}}$ 的 Gröbner 基。
• 通过证明割线理想的初始理想需要次数高达 $n$ 的奇数次多项式，解决循环项序是 2-愉悦的这一猜想。
• 通过割线理想与延拓之间的联系，建立符号平方 $I_{n}^{(2)}$ 的 Gröbner 基。
• 通过 Gröbner 退化和单项理想的割线理想的组合表征，应用“愉悦”策略。

提出的方法

• 采用 Sturmfels 和 Sullivant 提出的“愉悦”策略，将割线理想的初始理想与初始理想的割线理想联系起来。
• 利用 Gröbner 退化，通过包含关系 ${\rm in}_{\prec}(I_n^{ ext{\{2\}}}) \subseteq {\rm in}_{\prec}(I_n)^{\text{\{2\}}}$，将 $I_{n}^{ ext{\{2\}}}$ 与初始理想 ${\rm in}_{\prec}(I_n)^{\text{\{2\}}}$ 关联。
• 定义与长度至少为 5 的奇数可接受序列相关的主多项式 $f_{\mathbf{i},\mathbf{j}}$，其首项为 $K_n$ 的非交叉图中的环单项式。
• 通过相对于 $I_n$ 的循环 Gröbner 基进行 Gröbner 降阶，证明每个主多项式的首项为环单项式 $\prod_{l=1}^{2k+1} x_{i_l j_{l+k-1}}$。
• 证明矩阵变量 $x_{ij}$ 中的 3×3 非对角子式的首项对应于单项式 $x_{i_1 i_6}x_{i_2 i_5}x_{i_3 i_4}$，这些正是次数为 3 的生成元的首项。
• 利用包含关系 ${\rm in}_{\prec}(I_n)^{(2)} = {\rm in}_{\prec}(I_n)^2 + {\rm in}_{\prec}(I_n)^{\text{\{2\}}}$，推导出 $I_n^{(2)}$ 的 Gröbner 基。

实验结果

研究问题

• RQ1 循环项序是否为第二双单纯形的割线理想 $I_n^{\text{\{2\}}}$ 提供 2-愉悦的 Gröbner 基？
• RQ2 在循环项序下，Gröbner 基中所需的最小多项式次数是多少？
• RQ3 能否使用相同的项序，通过 Gröbner 基描述符号平方 $I_n^{(2)}$？
• RQ4 主多项式和非对角子式如何共同生成 $I_n^{\text{\{2\}}}$ 的初始理想？
• RQ5 在 $K_n$ 的循环嵌入中，初始理想 ${\rm in}_{\prec}(I_n)^{\text{\{2\}}}$ 的组合结构如何通过非交叉边与交叉边来表征？

主要发现

• 割线理想 $I_n^{\text{\{2\}}}$ 在任意循环项序下都存在 Gröbner 基，其生成元包括 3×3 非对角子式、次数为 3 的主多项式，以及 2×2 子式的乘积。
• 初始理想 ${\rm in}_{\prec}(I_n^{\text{\{2\}}})$ 需要次数高达 $n$ 的奇数次多项式，证实了循环项序是 2-愉悦的。
• 所有形如 $x_{i_1 i_6}x_{i_2 i_5}x_{i_3 i_4}$ 的次数为 3 的单项式，都是变量矩阵 $x_{ij}$ 中某个 3×3 非对角子式的首项。
• 与长度 $2k+1 \geq 5$ 的可接受奇数序列相关的主多项式 $f_{\mathbf{i},\mathbf{j}}$，其首项等于环单项式 $\prod_{l=1}^{2k+1} x_{i_l j_{l+k-1}}$。
• 符号平方 $I_n^{(2)}$ 满足 $I_n^{(2)} = I_n^2 + I_n^{\text{\{2\}}}$，其 Gröbner 基由 $I_n^{\text{\{2\}}}$ 的生成元以及 2×2 子式的乘积组成。
• 初始理想 ${\rm in}_{\prec}(I_n)^{(2)}$ 由非交叉图中的次数为 3 的环和非交叉边对的乘积生成，与 $I_n^{(2)}$ 生成元的首项完全匹配。