[论文解读] A Gronwall inequality and the Cauchy-type problem by means of $ψ$-Hilfer operator

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 12

一句话总结

本文利用ψ-分数阶积分提出了一种广义的Gronwall不等式，将其应用于研究涉及ψ-Hilfer分数阶导数的柯西型问题的解的存在性、唯一性及对初始数据的连续依赖性。主要贡献在于通过新不等式对数据依赖性进行了严格分析，将经典结果推广至更广泛的分数阶微分方程类别。

ABSTRACT

In this paper, we propose a generalized Gronwall inequality through the fractional integral with respect to another function. The Cauchy-type problem for a nonlinear differential equation involving the $ψ$-Hilfer fractional derivative and the existence and uniqueness of solutions are discussed. Finally, through generalized Gronwall inequality, we prove the continuous dependence of data on the Cauchy-type problem.

研究动机与目标

• 将经典Gronwall不等式推广至涉及ψ-Hilfer算子的分数阶微分方程。
• 建立由ψ-Hilfer分数阶导数控制的柯西型问题的解的存在性与唯一性。
• 利用广义不等式分析解对初始数据的连续依赖性。
• 通过ψ-Hilfer算子统一并推广现有的分数阶导数框架。

提出的方法

• 利用关于单调函数ψ的ψ-分数阶积分推导广义Gronwall不等式。
• 将ψ-Hilfer分数阶导数定义为统一各类分数阶导数的框架。
• 利用ψ-Hilfer导数的性质将柯西型问题转化为等价的Volterra积分方程。
• 应用广义Gronwall不等式证明解对初始数据和参数的连续依赖性。
• 使用加权函数空间C_{γ,ψ}[a,b]和C_{1−γ,ψ}[a,b]以保证函数的正则性与可积性。
• 采用迭代逼近与级数展开技术，将解的差异以初始扰动的形式进行有界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典Gronwall不等式推广，以适用于关于另一函数ψ的分数阶导数？
• RQ2 在何种条件下，涉及ψ-Hilfer分数阶导数的柯西型问题存在唯一解？
• RQ3 柯西型问题的解如何对初始数据和参数实现连续依赖？
• RQ4 广义Gronwall不等式能否用于量化初始条件扰动下解的稳定性？

主要发现

• 通过ψ-分数阶积分建立了一种新型广义Gronwall不等式，将经典结果推广至更广泛的分数阶算子类别。
• 证明了涉及ψ-Hilfer分数阶导数的柯西型问题等价于一个Volterra积分方程，从而为解的分析提供了可能。
• 在非线性项满足标准Lipschitz条件的假设下，证明了解的存在性与唯一性。
• 通过广义Gronwall不等式严格建立了解对初始数据的连续依赖性。
• 解的差异被一个包含Mittag-Leffler函数的级数所界定：|y_m(x) - y_m*(x)| ≤ |ε|(ψ(x)−ψ(a))^{γ−1} E_{α,γ}(A(ψ(x)−ψ(a))^α)。
• 解扰动的界确认了稳定性，并显式体现了对初始数据的定量依赖关系，其中显式依赖于参数ε和函数ψ。