[论文解读] A Grothendieck-Witt space for stable infinity categories with duality

Markus Spitzweck|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文为带有对偶结构的稳定 ∞-范畴构造了格罗滕迪克-韦伊空间 GW(C)，推广了经典格罗滕迪克-韦伊空间（当 2 在环中可逆时）。证明了 GW(C) 是一个群作用的 E∞-空间，并构成真正的 C₂-谱 KR(C)，即连通实 K-理论谱，该谱在完美复形范畴上恢复了经典 K-理论与 GW-理论。

ABSTRACT

We construct a Grothendieck-Witt space for any stable infinity category with duality. If we apply our construction to perfect complexes over a commutative ring in which 2 is invertible we recover the classical Grothendieck-Witt space. Our Grothendieck-Witt space is a grouplike E-infinity space which is part of a genuine C_2-spectrum, the connective real K-theory spectrum.

研究动机与目标

• 将经典的格罗滕迪克-韦伊空间构造推广至带有对偶结构的稳定 ∞-范畴的 ∞-范畴设定中。
• 定义一个格罗滕迪克-韦伊空间 GW(C)，其为群作用的 E∞-空间，从而自然导出一个连通谱。
• 证明该 GW(C) 是真正 C₂-谱——连通实 K-理论谱 KR(C) 的一部分，从而将实 K-理论推广至 ∞-范畴。
• 验证当应用于 2 可逆的交换环上的完美复形范畴时，该构造能恢复经典格罗滕迪克-韦伊空间。

提出的方法

• 使用 ∞-范畴上的埃尔米特 S•-构造，将沃尔登豪森的 K-理论框架适配以包含对偶结构。
• 将 Sₙ(C) 定义为 Fun(Ar([n]), C) 的全子范畴，其对象满足精确性与零对象条件。
• 将 K-理论空间 K(C) 构造为 S•(C) 的核心群胚的几何实现的环路空间。
• 通过在稳定 ∞-范畴 C 中的完美配对 ∞-范畴上的 C₂-固定点构造，引入格罗滕迪克-韦伊空间 GW(C)。
• 利用 Span(𝔽[C₂]) 上的广义范畴与戴恩卷积，证明 GW(C) 是群作用的 E∞-空间。
• 通过 G = C₂ 时 Span(𝔽[G]) 的函子性及有限余积保持性，构造连通实 K-理论谱 KR(C) 为真正的 C₂-谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的格罗滕迪克-韦伊空间构造推广至带有对偶结构的稳定 ∞-范畴的 ∞-范畴设定？
• RQ2 由此产生的 GW(C) 空间具有何种结构？其与 K-理论及实 K-理论的关系为何？
• RQ3 GW(C) 空间能否嵌入一个真正的 C₂-谱中？其与底层 K-理论谱的关系为何？
• RQ4 当应用于 2 可逆的环上的完美复形范畴时，该构造是否能恢复经典格罗滕迪克-韦伊空间？
• RQ5 广义范畴构造与戴恩卷积在将 KR(C) 实现为真正的 C₂-谱中起何作用？

主要发现

• 格罗滕迪克-韦伊空间 GW(C) 是群作用的 E∞-空间，因此自然导出一个连通谱。
• 对于任意带有对偶结构的稳定 ∞-范畴 C，当 C 为 2 可逆的交换环上的完美复形范畴时，GW(C) 与经典格罗滕迪克-韦伊空间自然等价。
• 该构造产生了一个真正的 C₂-谱 KR(C)，即 C 的连通实 K-理论谱。
• KR(C) 的底层谱自然等价于 K-理论谱 K(C)，从而为 K(C) 赋予自然的 C₂-作用。
• KR(C) 的 C₂-固定点自然等价于 GW(C)，建立了实 K-理论与 GW-理论之间的精确关系。
• 对于任意 E∞-环谱 R 及其张量可逆对象 L ∈ Perf(R)，该构造产生一个实 K-理论谱 KR(R, L)，包括所有 n ∈ ℤ 的 KR(R, R[n])。