[论文解读] A group method solving many-body systems in intermediate statistical representation

Yao Shen, Chi-Chun Zhou+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2021

Quantum many-body systems参考文献 18被引用 2

一句话总结

该论文提出一种基于群论的方法，通过将相互作用的多体量子系统映射到一种称为费米-统计（Gentile statistics）的中间统计表示，精确求解了这些系统。利用置换群共轭类算符与幺正群Casimir算符之间的同构关系，该方法将哈密顿量表示为Casimir不变量，从而实现能量谱的精确计算。该方法在极限情况下恢复了玻色子和费米子统计，并对长程海森堡模型在m=2时给出了精确解。

ABSTRACT

The exact solution of the interacting many-body system is important and is difficult to solve. In this paper, we introduce a group method to solve the interacting many-body problem using the relation between the permutation group and the unitary group. We prove a group theorem first, then using the theorem, we represent the Hamiltonian of the interacting many-body system by the Casimir operators of unitary group. The eigenvalues of Casimir operators could give the exact values of energy and thus solve those problems exactly. This method maps the interacting many-body system onto an intermediate statistical representation. We give the relation between the conjugacy-class operator of permutation group and the Casimir operator of unitary group in the intermediate statistical representation, called the Gentile representation. Bose and Fermi cases are two limitations of the Gentile representation. We also discuss the representation space of symmetric and unitary group in the Gentile representation and give an example of the Heisenberg model to demonstrate this method. It is shown that this method is effective to solve interacting many-body problems.

研究动机与目标

• 开发一种精确求解相互作用多体量子系统的方法，这些系统通常由于强关联而难以求解。
• 解决具有中间统计性质（如任意子或分数统计）的系统求解难题，标准方法在此类系统中失效。
• 在Gentile表示中，建立置换群共轭类算符与幺正群Casimir算符之间的系统性对应关系。
• 通过在此框架下精确求解长程海森堡自旋模型，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 论文提出一种新颖的群定理，将置换群的共轭类算符与Gentile统计表示中幺正群的Casimir算符联系起来。
• 利用U(m)的Casimir算符本征值计算精确能量谱，其中对不可约表示有⟨C₁⟩ = S₁ 且 ⟨C₂⟩ = S₂ − (m−1)S₁。
• 通过关系式 H = cos⁻¹(2π/(n+1)) (½C₂ − C₁ − 2∑J(Nᵏᵢ)) 重写哈密顿量，其中n为最大占据数。
• 该方法利用有限群同构于置换群子群、紧致李群同构于幺正群的性质。
• 采用Gentile表示，其中态由占据数标记，从而简化多体问题。
• 通过精确求解具有全对相互作用的长程海森堡模型，验证了该方法的有效性，表明其可通过Casimir不变量实现精确可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺正群的Casimir算符能否用于精确对角化中间统计下相互作用多体系统的哈密顿量？
• RQ2 置换群共轭类算符与幺正群Casimir算符之间的关系如何在Gentile表示中实现精确求解？
• RQ3 最大占据数n在恢复玻色子和费米子统计作为极限情况中起什么作用？
• RQ4 如何利用此群论框架精确求解具有长程相互作用的海森堡模型？
• RQ5 该方法能否推广到自旋模型以外的其他多体系统？

主要发现

• 该方法通过将长程海森堡模型的哈密顿量表示为U(m)的Casimir算符，实现了对该模型的精确求解，其中m=2对应自旋-1/2系统。
• 能量谱由Casimir算符的本征值决定，其中⟨C₁⟩ = S₁ 且 ⟨C₂⟩ = S₂ − (m−1)S₁，S₁和S₂由不可约表示的分拆导出。
• 当n→∞时，模型恢复玻色统计；当n=1时，恢复费米统计，确认与已知极限的一致性。
• 该方法成功地将相互作用多体系统映射到中间统计表示（Gentile统计），实现了对具有有限最大占据数系统的精确处理。
• 该方法可精确计算能级和简并度，而这些在标准近似技术中通常难以获得。
• 该框架为利用中间统计和群论不变量在量子计算机上模拟量子多体系统提供了新途径。