[论文解读] A group with at least subexponential hyperlinear profile

William Slofstra|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文构造了一个有限生成群，其超线性轮廓表现出至少亚指数增长，具体为 $ C' \cdot \exp\left(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha \right) $，其中 $ 0 < \alpha < 1/2 $。该结果在近似表示中检测非平凡群元素所需的酉 $\epsilon$-表示维数上建立了强有力的下界，是首个具有亚指数增长的此类例子，且表明某些非局域游戏需要亚指数量子维才能实现近乎完美的成功。

ABSTRACT

The hyperlinear profile of a group measures the growth rate of the dimension of unitary approximations to the group. We construct a finitely-presented group whose hyperlinear profile is at least subexponential, i.e. at least $\exp(1/ε^{k})$ for some $0 &lt; k &lt; 1$. We use this group to give an example of a two-player non-local game requiring subexponential Hilbert space dimension to play near-perfectly.

研究动机与目标

• 构造一个超线性轮廓至少亚指数增长的有限生成群，以挑战指数或多项式界的可能性。
• 为在近似表示中检测非平凡群元素所需的酉 $\epsilon$-表示维数提供一个具体的下界。
• 证明某些两玩家非局域游戏需要亚指数希尔伯特空间维数才能实现近乎完美的量子策略。
• 通过展示超线性轮廓的增长速度可快于多项式，即使该群的超线性性尚未被证明，从而推进对康奈斯嵌入问题的理解。

提出的方法

• 该构造使用一个群 $\mathcal{G}$，其特定的生成元与关系设定旨在强制高维酉近似。
• 证明利用了归一化的弗罗贝尼乌斯范数 $\|\cdot\|_f$ 来定义 $\epsilon$-表示，并量化群关系在有限维中被满足的程度。
• 通过在群元素的规范形式上应用修改版的乘法表论证，推导出超线性轮廓函数 $\operatorname{hlp}(w;\delta,\epsilon)$ 的下界。
• 通过 HNN扩张将论证扩展至更大的群 $\mathcal{G}'$，其中中心对合 $J'$ 继承了相同的下界。
• 利用已知结果将非局域游戏与近似表示中一个特殊群元素的非平凡性联系起来。
• 关键技术步骤是证明 $\operatorname{hlp}(J^\prime;2,\epsilon) \geq C' \cdot \exp(C / \epsilon^\alpha)$，其中 $0 < \alpha < 1/2$，并利用了先前工作的嵌入定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个有限生成群，使其超线性轮廓增长速度快于任何多项式，具体为至少亚指数？
• RQ2 此类群的存在是否意味着某些非局域游戏需要亚指数量子维才能实现近乎完美的量子策略？
• RQ3 是否可以建立一个下界，使得超线性轮廓以 $\exp(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha)$ 的形式增长，其中 $\alpha < 1/2$？
• RQ4 此类群是否可用于构造一个非局域游戏，其量子维要求为亚指数，即使该群的超线性性未知？
• RQ5 群的超线性轮廓是否能作为非局域游戏和量子关联复杂性的有意义衡量标准？

主要发现

• 本文构造了一个有限生成群 $\mathcal{G}$，使得对某个字 $w$，其超线性轮廓满足 $\operatorname{hlp}(w;\delta,\epsilon) \geq C' \cdot \exp\left(C \cdot (\delta/\epsilon)^\alpha\right)$，对所有 $\epsilon, \delta > 0$ 及任意 $\alpha < 1/2$ 成立。
• 该下界意味着 $\mathcal{G}$ 的超线性轮廓为超多项式，是首个已知具有轮廓亚指数增长的例子。
• 通过应用 HNN 扩张，本文表明在扩展群 $\mathcal{G}^\prime$ 中的中心对合 $J^\prime$ 的超线性轮廓下界为 $\operatorname{hlp}(J^\prime;2,\epsilon) \geq C' \cdot \exp(C / \epsilon^\alpha)$，其中 $0 < \alpha < 1/2$。
• 该结果意味着存在一个两玩家非局域游戏，需要亚指数希尔伯特空间维数才能实现近乎完美的量子策略，因为只有当特殊群元素在近似表示中非平凡时，量子值才为 1。
• 该构造未解决 $\mathcal{G}$ 的超线性性，也未证明其非 MF 或非索菲克性质，但为表示复杂性提供了强有力的下界。
• 该工作在群表示理论与非局域游戏之间建立了新的定量联系，表明在有限生成群中可实现超线性轮廓的亚指数增长。