[论文解读] A groupoid generalization of Leavitt path algebras

Lisa Orloff Clark, Cynthia Farthing+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 19

一句话总结

本文通过为具有局部同胚源映射和取值于离散群的连续柯ycle的局部紧、豪斯多夫、完全不连通的群胚G，构造其群胚C*-代数C*(G)的一个在*下稠密的子代数A(G)，提出了李维特路径代数的群胚基推广。关键贡献在于A(G)对紧致开双射的表示具有 universality，且当G分别来自行有限图或k-图时，A(G)同构于李维特路径代数或库姆让-帕斯克代数，并为A(G)建立了graded唯一性定理。

ABSTRACT

Let G be a locally compact, Hausdorff groupoid in which s is a local homeomorphism and the unit space is totally disconnected. Assume there is a continuous cocycle c from G into a discrete group $Γ$. We show that the collection A(G) of locally-constant, compactly supported functions on G is a dense *-subalgebra of C_c(G) and that it is universal for algebraic representations of the collection of compact open bisections of G. We also show that if G is the groupoid associated to a row-finite graph or k-graph with no sources, then A(G) is isomorphic to the associated Leavitt path algebra or Kumjian-Pask algebra. We prove versions of the Cuntz-Krieger and graded uniqueness theorems for A(G).

研究动机与目标

• 通过拓扑群胚推广李维特路径代数和库姆让-帕斯克代数。
• 构造群胚C*-代数C*(G)的一个在*下稠密的子代数A(G)，使其对紧致开双射的表示具有 universality。
• 在适当的群胚条件下，为A(G)建立graded唯一性定理。
• 证明当G与行有限图或k-图相关联时，A(G)可恢复为已知代数——李维特路径代数或库姆让-帕斯克代数。
• 将库恩茨-克赖格和graded唯一性定理推广至群胚设定下的代数A(G)。

提出的方法

• 将A(G)定义为具有完全不连通单位空间和局部同胚源映射的群胚G上的局部常值、紧支集复值函数代数。
• 通过群胚的对合和卷积积，为A(G)赋予*-代数结构。
• 引入连续柯cycle c: G → Γ，以在A(G)上定义Γ-分次，从而支持对分次表示的研究。
• 证明A(G)对群胚的紧致开双射集合的代数表示具有 universality。
• 通过证明任何在单位空间的紧致开子集上非零的非退化分次表示均为单射，建立graded唯一性定理。
• 验证当G为行有限图或k-图相关联的群胚时，A(G)同构于相应的李维特路径代数或库姆让-帕斯克代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过群胚理论，在更广泛的代数框架下统一李维特路径代数和库姆让-帕斯克代数？
• RQ2 群胚G需满足何种条件，才能使其关联代数A(G)对紧致开双射的表示具有 universality？
• RQ3 在何种条件下，A(G)的分次表示保持单射性，从而推广库恩茨-克赖格和graded唯一性定理？
• RQ4 代数A(G)与群胚C*-代数C*(G)之间有何关系，其在G的C*-代数结构中扮演何种角色？
• RQ5 对于由满射局部同胚定义的动力系统所生成的群胚，能否构造A(G)并证明其同构于已知代数？

主要发现

• A(G)是C*(G)的在*下稠密的子代数，为群胚C*-代数提供了自然的代数模型。
• A(G)对群胚的紧致开双射集合的代数表示具有 universality，即任何此类表示均可唯一地通过A(G)分解。
• 当G为行有限有向图关联的群胚时，A(G)同构于李维特路径代数L_C(E)。
• 当G为无源k-图关联的群胚时，A(G)同构于库姆让-帕斯克代数KP_C(Λ)。
• A(G)满足graded唯一性定理：任何在G^(0)的紧致开子集上非零的非退化分次表示均为单射。
• 库恩茨-克赖格唯一性定理被推广至A(G)，确保在单位空间的紧致开子集上非零的表示为单射。