[论文解读] A guide to the reduction modulo p of Shimura varieties

Michael Rapoport|ArXiv.org|May 2, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 157

一句话总结

本文提供了具有旁正规水平结构的希米亚瓦变体模 p 简化过程的群论指南，重点关注局部与全局几何结构、仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇，以及伽罗瓦 gerbs 与赫克代数之间的相互作用。通过扭曲轨道积分，提出了半单 zeta 函数的猜想，并在 GL_n 与 GSp_{2n} 情况下建立了关键结果，通过科特维茨关于赫克代数映射的猜想，将算术几何与自守形式联系起来。

ABSTRACT

This is a report on results and methods in the reduction modulo p of Shimura varieties with parahoric level structure. In the first part, the local theory, we explain the concepts of parahoric subgroups, of the mu-admissible and mu-permissible subsets of the Iwahori-Weyl group, of the corresponding union of affine Deligne-Lusztig varieties and of local models. In the second part, the global theory, we use these concepts to formulate conjectures on the points in the reduction modulo p of Shimura varieties with parahoric level structure.

研究动机与目标

• 开发一个群论框架，以理解具有旁正规水平结构的希米亚瓦变体模 p 简化过程。
• 通过局部模型与仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇，阐明希米亚瓦变体特殊纤维的几何结构。
• 以扭曲轨道积分为基础，提出并研究希米亚瓦变体半单 zeta 函数的猜想。
• 将经典希米亚瓦变体（如希尔伯特-布卢门萨尔、西格尔）的已知结果扩展至更一般情形，特别是霍奇型情形。
• 通过赫克代数与伽罗瓦 gerbs 将点计数与迹公式联系起来，从而在算术几何与自守形式之间建立桥梁。

提出的方法

• 利用旁正规子群的局部理论及 μ-可接受/允许集合，分析仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇 X(μ,b)_K 的结构。
• 应用局部模型与伽罗瓦 gerbs 理论，描述有限域上希米亚瓦变体简化过程中的点集。
• 采用半单 zeta 函数与迹公式技术，将点计数与轨道积分联系起来。
• 通过共轭类与弗罗贝尼乌斯作用，推导出可接受同态对李特尔伍德不动点公式贡献的群论表达式。
• 利用赫克代数与伯恩斯坦函数，以 z_μ 与 Iwahori-赫克代数映射的形式，为 p-进赫克算子 φ_p^n 提出一个猜想。
• 通过分析弗罗贝尼乌斯作用下的不动点，并将其与扭曲轨道积分关联，将全局迹公式简化为局部贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 μ-可接受集合与仿射德林费尔德-卢斯蒂格簇等群论不变量，描述具有旁正规水平结构的希米亚瓦变体模 p 简化过程？
• RQ2 半单 zeta 函数的精确群论解释是什么？其与扭曲轨道积分及赫克代数的关系如何？
• RQ3 科特维茨关于赫克代数映射的猜想在多大程度上可从 GL_n 与 GSp_{2n} 推广至一般霍奇型希米亚瓦变体？
• RQ4 可接受同态对李特尔伍德迹公式的贡献，如何分解为涉及共轭类与弗罗贝尼乌斯作用的局部项？
• RQ5 当分歧为坏时，猜想需要如何修改？如何通过适当函数稳定化以获得全局迹公式？

主要发现

• 模 p 简化后希米亚瓦变体的点集被描述为同构类上的不相交并集，其分量由 X(φ)_{K_p} × X^p/K^p 参数化，且受 I_φ(Q) 的群作用。
• 对于超特殊与 Iwahori 水平结构，集合 X(φ)_{K_p} 被表征为在椭圆曲线的迪厄多内模中满足 pΛ ⊂ FΛ ⊂ Λ 的格 Λ 的集合。
• 每个可接受同态 φ 对半单 zeta 函数的贡献，表示为轨道积分 O_h(φ^p) 与扭曲轨道积分 TO_δ(φ_p^n) 的乘积，附带一个体积因子 v。
• 通过哈因斯与 Ngo 的工作，科特维茨猜想在 GL_n 与 GSp_{2n} 情况下已得证明，表明 φ_p^n 来自 z_μ 在赫克代数同态下的像。
• 该猜想预测 φ_p^n 与 p^{n'⟨ρ,μ⟩} 乘以 Iwahori-赫克代数中的伯恩斯坦函数 z_μ 成正比，其中 n' = n·r，r = [κ_E : F_p]。
• 该框架表明，通过在所有 φ 上求和，并利用 G(Q_p) 上的合适函数将扭曲轨道积分替换为标准轨道积分，可恢复全局迹公式，尽管边界项与 L-不可区分性仍是挑战。