[论文解读] A hierarchical version of the de Finetti and Aldous-Hoover representations

Tim Austin, Dmitry Panchenko|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出了 de Finetti 与 Aldous-Hoover 交换性定理在以有限深度有根树叶为索引的随机数组上的分层推广。证明了任意分层交换数组——其分布对保持树结构的置换保持不变——可表示为以从根到各叶的路径为索引的独立同分布均匀随机变量的可测函数，将经典的 de Finetti 型表示推广至树状结构的依赖关系。

ABSTRACT

We consider random arrays indexed by the leaves of an infinitary rooted tree of finite depth, with the distribution invariant under the rearrangements that preserve the tree structure. We call such arrays hierarchically exchangeable and prove that they satisfy an analogue of de Finetti's theorem. We also prove a more general result for arrays indexed by several trees, which includes a hierarchical version of the Aldous-Hoover representation.

研究动机与目标

• 将经典的 de Finetti 与 Aldous-Hoover 定理推广至以有限深度有根树的叶为索引的随机数组。
• 形式化一种基于保持树结构的置换不变性的交换性概念——分层交换性。
• 为这类数组建立作为路径结构上独立同分布均匀随机变量泛函的表示定理。
• 将结果推广至由多个树的乘积集索引的数组，以捕捉多层级依赖关系。
• 为耦合的分层交换过程提供一个条件表示框架，实现联合分布的构造。

提出的方法

• 将索引集定义为深度为 r 的无穷有根树的叶，包含所有层级至 r 的顶点。
• 引入 H_r 群，即在保持任意两叶共同祖先数 α ∧ β 不变的前提下对叶进行双射的置换群，以确保树结构不变性。
• 将分层交换数组定义为在 H_r 作用下联合分布保持不变的数组。
• 通过以树顶点为索引的独立同分布 [0,1] 随机变量 (v_β) 和一个可测函数 σ 构造表示，使得 X_α = σ((v_β)_{β ∈ p(α)})。
• 利用树的数量的归纳法与条件耦合技术，将表示扩展至由多个树叶的乘积集索引的数组。
• 对过程进行递归分解，引入辅助 I-域 (u, V, U) 以追踪各层级间的依赖关系，并将高阶随机性吸收进函数形式中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在对保持树结构的置换保持不变的条件下，为以有限深度树的叶为索引的随机数组建立类似 de Finetti 的表示？
• RQ2 在多层级树状依赖结构的背景下，分层交换性如何推广经典 de Finetti 与 Aldous-Hoover 定理？
• RQ3 分层交换数组的表示函数形式是什么？如何将其扩展至多个耦合过程的联合分布？
• RQ4 能否基于编码路径依赖信息的辅助随机场，为分层交换数组构造条件表示？
• RQ5 如何通过路径集上独立同分布均匀变量的可测函数，编码多个树层级间的依赖结构？

主要发现

• 任何以深度为 r 的树的叶为索引的分层交换数组 (X_α) 在分布上可表示为 X_α = σ((v_β)_{β ∈ p(α)})，其中 v_β 为独立同分布的 [0,1] 随机变量，σ 为可测函数。
• 该表示对由多个树的乘积集索引的数组依然成立，将 Aldous-Hoover 结果推广至具有多层级依赖关系的分层设置。
• 对于一对分层交换过程 (Y_α, X_α)，其联合分布可表示为 Y_α = σ₁(u_{p(α)}), X_α = σ₂(u_{p(α)}, v_{p(α)})，其中 u 与 v 为独立同分布的均匀场。
• 在路径依赖随机场 (u, V, U) 的条件之下，数组 X 可通过一个可测函数 τ 生成，该函数将所有依赖关系吸收进函数形式中。
• 证明依赖于对树深度的归纳构造，利用条件独立性与耦合论证，将高阶随机性吸收进函数表示中。
• 关键洞见在于，H_r 置换下的不变性使得整个依赖结构可编码于路径结构随机变量的函数形式之中。