[论文解读] A high-order relaxation method with projective integration for solving nonlinear systems of hyperbolic conservation laws

Pauline Lafitte, Ward Melis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 47被引用 22

一句话总结

本论文通过使用投影积分法求解BGK型微分方程，提出了一种用于多维非线性双曲守恒律的高阶、完全显式松弛格式。该方法利用少量前向欧拉时间步长估算时间导数，从而实现稳定、高阶的外层Runge-Kutta时间积分，具有类似CFL的稳定性与刚性无关性，为黎曼求解器方法提供了一种鲁棒、通用的替代方案。

ABSTRACT

We present a general, high-order, fully explicit relaxation scheme which can be applied to any system of nonlinear hyperbolic conservation laws in multiple dimensions. The scheme consists of two steps. In a first (relaxation) step, the nonlinear hyperbolic conservation law is approximated by a kinetic equation with stiff BGK source term. Then, this kinetic equation is integrated in time using a projective integration method. After taking a few small (inner) steps with a simple, explicit method (such as direct forward Euler) to damp out the stiff components of the solution, the time derivative is estimated and used in an (outer) Runge-Kutta method of arbitrary order. We show that, with an appropriate choice of inner step size, the time step restriction on the outer time step is similar to the CFL condition for the hyperbolic conservation law. Moreover, the number of inner time steps is also independent of the stiffness of the BGK source term. We discuss stability and consistency, and illustrate with numerical results (linear advection, Burgers' equation and the shallow water and Euler equations) in one and two spatial dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种适用于多维空间中非线性双曲守恒律的通用、高阶、完全显式数值格式。
• 克服传统基于黎曼求解器方法的局限性，这些方法需要复杂且与问题相关的重构与通量计算。
• 消除松弛方法中对分裂或IMEX技术的依赖，这些方法常导致阶数受限或鲁棒性问题。
• 使外层积分器的时间步长限制与原始双曲系统的CFL条件相当，且独立于刚性参数ε。
• 确保内层步数不依赖于ε，从而在所有刚性区间内实现高效计算。

提出的方法

• 通过引入一个包含小松弛参数ε的BGK型动力学方程，近似原始双曲守恒律。
• 使用直接前向欧拉方法进行少量内层时间步长，以抑制BGK方程中的刚性分量。
• 从内层步长中估算时间导数，并将其用于外层任意阶次的高阶Runge-Kutta方法。
• 通过结合内层显式时间积分与基于导数估计的外层时间推进，实现投影积分。
• 在动力学形式中使用高阶空间离散化（如ENO或迎风格式）进行空间重构。
• 确保内层时间步长的选择使得外层时间步长限制与原始双曲系统的CFL条件一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过松弛与投影积分方法，构造出用于非线性双曲守恒律的完全显式、高阶时间积分格式？
• RQ2 所提出的方法是否在不依赖刚性参数ε的情况下保持稳定性和一致性？
• RQ3 外层时间步长是否可以选取为与原始双曲系统CFL条件类似的限制？
• RQ4 所需内层时间步数是否与ε无关，从而确保在刚性区间内的效率？
• RQ5 该方法在不同测试问题（包括线性对流、Burgers方程、浅水方程和Euler方程）中的表现如何？

主要发现

• 通过适当选择内层步长，该方法在时间上可实现任意阶精度，且稳定性与一致性已得到证明。
• 在最优内层步长下，外层时间步长限制等价于原始双曲守恒律的CFL条件。
• 内层时间步数保持与刚性参数ε无关，从而在所有参数区间内实现高效计算。
• 1D与2D问题（线性对流、Burgers方程、浅水方程与Euler方程）的数值结果证实了该方法的鲁棒性与精度。
• 在2D溃坝问题中，t = 1.5时水深稳定在h ≈ 0.96附近，与已有基准结果一致。
• 在2D Sod激波管测试中，采用三阶ENO空间重构与PRK4时间积分，方法成功捕捉到了激波形成与膨胀波。