[论文解读] A higher dimensional foliated Donaldson theory, I

Shuguang Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文在余维4的黎曼叶状结构的高维流形上引入了叶状反自对偶规范理论，建立了基本反自对偶联络模空间的紧化定理。通过伪群作用将叶状理论与横截流形上的标准4D瞬子理论联系起来，证明了在叶状结构为紧密且平均曲率为零的条件下，理想模空间是紧致的，奇点仅出现在紧致叶上。

ABSTRACT

We introduce the foliated anti-self dual equation for higher dimensional smooth manifolds with codimension-4 Riemannian foliations. Several fundamental results are established, towards the defining of a Donaldson type invariant for such foliations.

研究动机与目标

• 为配备余维4黎曼叶状结构的流形发展唐纳森理论的高维类比。
• 通过利用叶状结构，克服一般高维瞬子理论中缺乏椭圆性与紧致性的缺陷。
• 通过横截约化至4D反自对偶方程，定义一类新的规范理论不变量——叶状唐纳森不变量。
• 建立基本反自对偶联络模空间的紧化定理，明确紧致叶作为分支点的作用。
• 通过将校准形式的标准闭性假设弱化为叶状结构的紧密性，替代原条件，该条件足以保证紧致性与电荷量子化。

提出的方法

• 通过余维4黎曼叶状结构的特征形式 $\chi = \chi_{\mathcal{F}}$ 引入叶状反自对偶方程 $*(F_A \wedge \chi) = -F_A$。
• 将注意力限制在基本联络 $A$ 上，使方程约化为在法丛 $Q = TM/T\mathcal{F}$ 上的横截反自对偶方程 $\overline{*}F_A = -F_A$。
• 通过伪群作用，建立 $M$ 上的叶状理论、$Q$ 上的横截理论与横截流形 $Y$ 上的等变4D规范理论之间的等价性。
• 在非紧且不连通的横截流形 $Y$ 上使用标准4D反自对偶方程 $*F_{A'} = -F_{A'}$，结合伪群不变性，恢复椭圆性与紧致性。
• 建立 $M$ 上基本联络与 $Y$ 上 $\mathbf{H}$-不变联络之间的对应关系，保持反自对偶性条件。
• 利用曲率形式的弱收敛与电流极限分析奇点，表明极限联络 $\tilde{A}$ 在整个流形 $M$ 上光滑延拓。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为余维4黎曼叶状结构的流形构造唐纳森理论的高维类比？
• RQ2 在高维空间中缺乏标准椭圆性时，如何实现反自对偶联络模空间的紧化？
• RQ3 紧密性在取代校准形式的标准闭性条件中起何作用，以保证紧致性与电荷量子化？
• RQ4 叶状结构的紧致叶如何在模空间的极限行为中体现？
• RQ5 能否通过横截约化与伪群不变性，将叶状瞬子模空间与标准4D规范理论联系起来？

主要发现

• 当叶状结构 $\mathcal{F}$ 为紧密且平均曲率 $\kappa = 0$ 时，基本反自对偶联络的理想模空间 $\mathcal{I}\mathcal{M}_{\mathrm{b}}(E)$ 是紧致的。
• 极限联络 $\tilde{A}$ 在整个流形 $M$ 上光滑延拓，意味着奇点集 $S([\tilde{A}])$ 为空，这一结果强于田刚的一般情形。
• 弱收敛曲率形式中的奇点电流 $T$ 是一个支撑在有限个紧致叶上的可 rectifiable 叶状循环，如定理6.5与推论1.16所示。
• 叶状唐纳森不变量通过在分类空间 $\mathcal{B}$ 上的斜积定义，与可 rectifiable 叶状2-循环配对，产生整数值不变量。
• 模空间仅依赖于丛度量 $g$ 的叶状度量分量 $g_L$，而不依赖于完整度量。
• 紧密性假设将 $d\chi = 0$ 的要求弱化为 $\mathcal{F}$-相对闭性 ($d_{\mathcal{F}}\chi = 0$)，该条件已足够保证紧致性与电荷量子化。