[论文解读] A higher-order finite-volume discretization method for Poisson's equation in cut cell geometries

Dharshi Devendran, Daniel Graves+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种在结构化切割单元网格上求解泊松方程的高阶有限体积方法，通过加权最小二乘法重构界面通量，实现了二阶和四阶精度。该方法通过精心选择的权重确保了稳定性，展示了在复杂二维和三维几何中的最优收敛性，并且离散拉普拉斯算子的特征值严格为负。

ABSTRACT

We present a method for generating higher-order finite volume discretizations for Poisson's equation on Cartesian cut cell grids in two and three dimensions. The discretization is in flux-divergence form, and stencils for the flux are computed by solving small weighted least-squares linear systems. Weights are the key in generating a stable discretization. We apply the method to solve Poisson's equation on a variety of geometries, and we demonstrate that the method can achieve second and fourth order accuracy in both truncation and solution error for these examples. We also show that the Laplacian operator has only stable eigenvalues for each of these examples.

研究动机与目标

• 解决在具有切割单元的复杂几何上实现泊松方程有限体积离散化的高阶精度挑战。
• 克服现有切割单元有限体积方法在嵌入边界附近存在一阶截断误差的局限性。
• 开发一种稳定且保守的离散化方法，即使在小切割单元体积和复杂界面下也能保持高阶精度。
• 通过确保离散拉普拉斯算子在整个不同几何中仅具有严格负的特征值，保证其稳定性。
• 实现对需要保守性的应用（如热传导与质量传递）的稳健处理，同时保持最小的网格生成复杂度。

提出的方法

• 将泊松方程以通量散度形式表述，以保证离散守恒性。
• 在每个切割单元上对解进行多项式重构，通过加权最小二乘系统计算界面通量。
• 使用能稳定解并控制条件数的权重，求解通量模板的欠定线性系统。
• 将该方法应用于二维和三维结构化切割单元网格，模板根据局部几何和体积分数自适应调整。
• 采用一致且保守的通量重构方法，保持守恒性，并在截断误差和解误差中实现高阶精度。
• 通过虚拟单元和一致重构方法，在嵌入边界上施加狄利克雷和诺伊曼边界条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在切割单元网格上构建一种泊松方程的高阶有限体积方法，使其在截断误差和解误差中均实现二阶和四阶收敛？
• RQ2 如何通过适当加权的欠定最小二乘系统，为小切割单元生成稳定的通量重构？
• RQ3 所得到的离散拉普拉斯算子在各种复杂几何中是否保持稳定，即仅具有严格负的特征值？
• RQ4 该方法在小几何扰动下（如嵌入边界位置发生微小移动）是否仍具有鲁棒性？
• RQ5 该方法能否在最小修改下推广至变系数泊松方程及其他散度-通量形式问题？

主要发现

• 在二维方形区域中包含四个内圆的情况下，该方法在解误差中实现了四阶收敛，当网格分辨率从 $h=1/32$ 提高到 $h=1/64$ 时，$L_\text{infty}$ 误差从 $1.04\times10^{-6}$ 降低至 $6.30\times10^{-8}$。
• 在三维球体几何中，解误差以约四阶收敛，当 $h$ 从 $1/64$ 减半至 $1/128$ 时，$L_\infty$ 误差从 $9.16\times10^{-5}$ 降低至 $6.27\times10^{-6}$。
• 在所有测试的几何中，离散拉普拉斯算子仅具有严格负的特征值，证实了在狄利克雷和诺伊曼边界条件下均具有数值稳定性。
• 该方法在小几何扰动下仍保持鲁棒：在二维中将圆心移动 $0.001$，或在三维中将半径改变 $0.005$，均未导致收敛率下降。
• 拉普拉斯算子的谱中存在一小簇具有非零虚部的特征值，但主导特征值仍为实数且为负，保持了稳定性。
• 在二维方形区域中包含四个内圆的情况下，该方法在截断误差中实现了二阶收敛，当 $h$ 减半时，$L_1$ 截断误差从 $1.12\times10^{-3}$ 降低至 $4.62\times10^{-5}$。