[论文解读] A Hilbert manifold structure on the refined Teichmueller space of bordered Riemann surfaces

David Radnell, Eric Schippers+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文在 $2g+2-n > 0$ 时，通过拟共形映射的解析精化与贝尔索夫空间理论，在具有 $n$ 个边界分量的亏格为 $g$ 的带边黎曼曲面的精化 Teichmüller 空间上建立了希尔伯特流形结构。此外，还证明了共形场论中的带 rigging 模空间是一个复希尔伯特流形，其作为精化 Teichmüller 空间关于一个正常离散的全纯双射群作用的商空间而产生。

ABSTRACT

We consider bordered Riemann surfaces which are biholomorphic to compact Riemann surfaces of genus g with n regions biholomorphic to the disc removed. We define a refined Teichmueller space of such Riemann surfaces and demonstrate that in the case that 2g+2-n>0, this refined Teichmueller space is a Hilbert manifold. The inclusion map from the refined Teichmueller space into the usual Teichmueller space (which is a Banach manifold) is holomorphic. We also show that the rigged moduli space of Riemann surfaces with non-overlapping holomorphic maps, appearing in conformal field theory, is a complex Hilbert manifold. This result requires an analytic reformulation of the moduli space, by enlarging the set of non-overlapping mappings to a class of maps intermediate between analytically extendible maps and quasiconformally extendible maps. Finally we show that the rigged moduli space is the quotient of the refined Teichmueller space by a properly discontinuous group of biholomorphisms.

研究动机与目标

• 为具有 $n$ 个边界分量且同胚于圆周的带边黎曼曲面定义一个精化 Teichmüller 空间。
• 通过贝尔索夫空间与卡莱森测度的解析结构，证明当 $2g+2-n > 0$ 时，该精化空间为希尔伯特流形。
• 证明该精化空间到标准 Teichmüller 空间的包含映射是全纯的。
• 通过非重叠全纯映射的解析重表述，证明共形场论中的带 rigging 模空间是复希尔伯特流形。
• 证明带 rigging 模空间与精化 Teichmüller 空间关于一个正常离散的全纯双射群作用的商空间之间存在全纯双射等价关系。

提出的方法

• 结合 Takhtajan 与 Teo 关于全纯 Teichmüller 空间的成果，以及郭慧基于 $L^2$ 的拟共形 Teichmüller 理论的精化方法。
• 运用带标记的全纯黎曼曲面族理论，以及 Gardiner 与 Schiffer 的变分方法。
• 应用 Dirichlet 空间与小 Bloch 空间之间的关系，以分析过渡函数。
• 应用解析贝尔索夫空间的卡莱森测度理论，以验证过渡映射为全纯双射。
• 引入介于解析可延拓与拟共形可延拓映射之间的中间映射类，以重述带 rigging 模空间。
• 构造从精化 Teichmüller 空间到带 rigging 模空间的投影映射 $P_0$，并证明其为全纯且满射，且具有局部全纯逆映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带边黎曼曲面的精化 Teichmüller 空间是希尔伯特流形？
• RQ2 如何为共形场论中的带 rigging 模空间赋予希尔伯特流形结构？
• RQ3 从群作用与商空间的角度来看，精化 Teichmüller 空间与带 rigging 模空间之间存在何种关系？
• RQ4 能否证明精化 Teichmüller 空间到标准 Teichmüller 空间的包含映射是全纯的？
• RQ5 对全纯映射的何种解析条件可确保带 rigging 模空间具有希尔伯特流形结构？

主要发现

• 当 $2g+2-n > 0$ 时，类型为 $(g,n)$ 的带边黎曼曲面的精化 Teichmüller 空间是希尔伯特流形。
• 从精化 Teichmüller 空间到标准 Teichmüller 空间的包含映射是全纯的。
• 具有非重叠全纯映射的黎曼曲面的带 rigging 模空间是复希尔伯特流形。
• 带 rigging 模空间与精化 Teichmüller 空间关于正常离散群 $ ext{PModI}(\Sigma^B)$ 作用的商空间之间存在全纯双射等价关系。
• 从精化 Teichmüller 空间到带 rigging 模空间的投影映射 $P_0$ 是全纯的，并且具有局部全纯逆映射。
• 带 rigging 模空间上的希尔伯特流形结构与基底曲面和 rigging 的选择无关。