[论文解读] A Hilbert-Schmidt analog of Huaxin Lin's Theorem

N. Filonov, Ilya Kachkovskiy|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文建立了胡轩信关于几乎可交换矩阵存在交换自伴逼近的定理在希尔伯特-施密特范数下的类比。通过基于特征值聚类和分块对角投影的划分技术，证明了若交换子 $[H_1, H_2]$ 的归一化希尔伯特-施密特范数为 $\delta$，则存在在希尔伯特-施密特范数下与 $H_1, H_2$ 距离不超过 $2\delta^{1/4}$ 的交换自伴矩阵 $A_1, A_2$，且满足 $\|H_i - A_i\|_{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits} \leq 2\delta^{1/4}$，改进了先前的界。

ABSTRACT

The paper is devoted to the following question: consider two self-adjoint $n imes n$-matrices $H_1,H_2$, $\|H_1\|\le 1$, $\|H_2\|\le 1$, such that their commutator $[H_1,H_2]$ is small in some sence. Do there exist such self-adjoint commuting matrices $A_1,A_2$, such that $A_i$ is close to $H_i$, $i=1,2$? The answer to this question is positive if the smallness is considered with respect to the operator norm. The following result was established by Huaxin Lin: if $\|[H_1,H_2]\|=δ$, then we can choose $A_i$ such that $\|H_i-A_i\|\le C(δ)$, $i=1,2$, where $C(δ) o 0$ as $δ o 0$. Notice that $C(δ)$ does not depend on $n$. The proof was simplified by Friis and Rørdam. A quantitative version of the result with $C(δ)=E(1/δ)δ^{1/5}$, where $E(x)$ grows slower than any power of $x$, was recently established by Hastings. We are interested in the same question, but with respect to the normalized Hilbert-Schmidt norm. An analog of Lin's theorem for this norm was established by Hadwin and independently by Filonov and Safarov. A quantitative version with $C(δ)=12δ^{1/6}$, where $δ=\|[H_1,H_2]\|_{ r}$, was recently obtained by Glebsky. In the present paper, we use the same ideas to prove a similar result with $C(δ)=2δ^{1/4}$. We also refine Glebsky's theorem concerning the case of $n$ operators.

研究动机与目标

• 将胡轩信关于几乎可交换自伴算子在算子范数下的结果推广到归一化希尔伯特-施密特范数情形。
• 改进希尔伯特-施密特设定下几乎可交换矩阵与其交换逼近之间距离的定量界。
• 通过迭代分块对角化方法，将结果推广至 $n$-元组几乎可交换自伴矩阵。
• 在归一化希尔伯特-施密特控制下，建立逼近误差对交换子范数的精确依赖关系，特别是 $\delta^{1/4}$ 阶次。

提出的方法

• 将指标集 $\{1,\dots,n\}$ 划分为一个小的例外集 $J$ 和若干簇 $L_a$，使得每个 $L_a$ 内的特征值彼此相差不超过 $1/m$，且不同簇之间至少相隔 $1/(km)$。
• 定义 $A_1$ 为分块对角矩阵，其在每个簇 $L_a$ 内对特征值取平均，保持自伴性且算子范数 $\leq 1$。
• 定义 $A_2$ 为 $H_2$ 在相同块上的分块对角投影，确保 $[A_1, A_2] = 0$ 且 $\|A_2\| \leq 1$。
• 通过控制特征值聚类带来的误差（$\sim 1/m$）和非块内项（$\sim 1/k$）来估计 $H_i - A_i$ 的希尔伯特-施密特范数，随后根据 $\delta$ 优化 $k$ 和 $m$。
• 将该方法迭代应用于 $m$-元组算子，追踪每次逼近后交换子范数的衰减。
• 应用不等式 $\|AB\|_{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits} \leq \|A\| \|B\|_{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits}$ 来控制交换子估计中的误差传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 在希尔伯特-施密特范数下几乎可交换的自伴矩阵能否被逼近为交换自伴矩阵，且逼近误差随交换子范数的幂次衰减？
• RQ2 在希尔伯特-施密特设定下，此类逼近的误差界 $C(\delta)$ 中最优的指数是多少？
• RQ3 用于两矩阵的方法能否推广至 $m$-元组几乎可交换自伴矩阵？
• RQ4 迭代逼近过程如何影响交换子范数和最终的逼近误差？

主要发现

• 对于满足 $\|H_i\| \leq 1$ 且 $\|[H_1, H_2]\|_{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits} = \delta \leq 1/16$ 的两个 $n \times n$ 自伴矩阵，存在交换自伴逼近 $A_1, A_2$，使得 $\|H_i - A_i\|_{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits} \leq 2\delta^{1/4}$。
• 界 $2\delta^{1/4}$ 改进了希尔伯特-施密特设定下先前已知的最佳界 $12\delta^{1/6}$。
• 该构造确保 $[H_1, A_1] = 0$，从而在逼近中保持了 $H_1$ 的谱结构。
• 对于 $m \geq 3$ 个自伴矩阵，若其两两交换子范数 $\leq \delta$，则在 $\delta \leq 1/16^{2 \cdot 4^{m-2}}$ 条件下，论文建立了界 $\|H_i - A_i\|_{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits} \leq 5\delta^{1/4^{m-1}}$。
• 迭代方法在每一步使交换子范数减少约 $\delta^{1/4}$ 阶次，导致误差界呈几何衰减。
• 该方法依赖于通过划分引理实现的特征值聚类和分块对角投影，最优参数为 $k = \lfloor 2/\delta^{1/2} \rfloor$，$m = \lfloor 1/(2\delta^{1/4}) \rfloor$。