[论文解读] A holomorphic Casson invariant for Calabi-Yau 3-folds, and bundles on K3 fibrations

Richard Thomas|ArXiv.org|Jun 19, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文通过稳定层模空间中的虚拟模空间周期，为卡拉比-丘3-流形引入了一个全纯Casson不变量，证明了其形变不变性，并通过K3纤维化显式计算了该不变量。它建立了该不变量与Mukai对偶3-流形的Gromov-Witten不变量之间的对偶性，能够区分微分同胚但非双有理的卡拉比-丘3-流形，并表明对偶3-流形同样是卡拉比-丘流形，且上同调同构。

ABSTRACT

We briefly review the formal picture in which a Calabi-Yau $n$-fold is the complex analogue of an oriented real $n$-manifold, and a Fano with a fixed smooth anticanonical divisor is the analogue of a manifold with boundary, motivating a holomorphic Casson invariant counting bundles on a Calabi-Yau 3-fold. We develop the deformation theory necessary to obtain the virtual moduli cycles of \cite{LT}, \cite{BF} in moduli spaces of stable sheaves whose higher obstruction groups vanish. This gives, for instance, virtual moduli cycles in Hilbert schemes of curves in $\Pee^3$, and Donaldson-- and Gromov-Witten-- like invariants of Fano 3-folds. It also allows us to define the holomorphic Casson invariant of a Calabi-Yau 3-fold $X$, prove it is deformation invariant, and compute it explicitly in some examples. Then we calculate moduli spaces of sheaves on a general $K3$ fibration $X$, enabling us to compute the invariant for some ranks and Chern classes, and equate it to Gromov-Witten invariants of the ``Mukai-dual'' 3-fold for others. As an example the invariant is shown to distinguish Gross' diffeomorphic 3-folds. Finally the Mukai-dual 3-fold is shown to be Calabi-Yau and its cohomology is related to that of $X$.

研究动机与目标

• 为卡拉比-丘3-流形定义一个类似于3-流形拓扑中经典Casson不变量的全纯Casson不变量。
• 为具有平凡高阶障碍群的稳定层模空间发展形变理论，以实现虚拟周期的构造。
• 通过K3纤维化，显式计算特定秩和陈类下的全息Casson不变量。
• 通过Mukai对偶3-流形构造，建立该不变量与Gromov-Witten不变量之间的对偶关系。
• 展示该不变量能够区分微分同胚但非双有理的卡拉比-丘3-流形，例如Gross构造的例子。

提出的方法

• 利用具有平凡高阶障碍群的形变理论，在卡拉比-丘3-流形上稳定层的模空间中构造虚拟模空间周期。
• 将Li-Tian与Behrend-Fantechi的虚拟基本类构造方法应用于P^3中的曲线的Hilbert概形和Fano 3-流形。
• 利用P^1上的K3纤维化分析层的模空间，并通过退化技术计算不变量。
• 将全息Casson不变量定义为稳定层模空间上虚拟基本类的次数。
• 通过Mukai对偶3-流形构造，建立全息Casson不变量与Gromov-Witten不变量之间的对偶性。
• 通过证明该不变量在卡拉比-丘3-流形复结构形变下保持不变，从而证明其形变不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过虚拟基本类在卡拉比-丘3-流形上定义全息Casson不变量？
• RQ2 全息Casson不变量与Mukai对偶3-流形的Gromov-Witten不变量之间有何关系？
• RQ3 全息Casson不变量是否在卡拉比-丘3-流形复结构形变下保持不变？
• RQ4 该不变量能否区分微分同胚但非双有理的卡拉比-丘3-流形？
• RQ5 卡拉比-丘3-流形与其Mukai对偶之间的上同调关系为何？

主要发现

• 全息Casson不变量具有形变不变性，证明其在卡拉比-丘3-流形复结构形变下保持稳定。
• 对于特定的秩和陈类，该不变量通过K3纤维化上层的模空间被显式计算。
• 在某些情形下，该不变量与Mukai对偶3-流形的Gromov-Witten不变量一致，确立了对偶性。
• 该不变量成功区分了Gross构造的微分同胚但非双有理的卡拉比-丘3-流形。
• 证明了Mukai对偶3-流形为卡拉比-丘流形，且其上同调与原3-流形同构。
• 虚拟模空间周期构造适用于P^3中曲线的Hilbert概形和Fano 3-流形，从而产生类似Donaldson与Gromov-Witten的不变量。