[论文解读] A Holomorphic vertex operator algebra of central charge 24 with weight one Lie algebra $F_{4,6}A_{2,2}$

Ching Hung Lam, Xingjun Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用 12

一句话总结

该论文通过在具有权一李代数 $A_{8,3}A_{2,1}^2$ 的唯一一个光滑顶点算子代数上应用 ${\mathbb{Z}}_2$-群作用构造，构建了一个中心指数为 24 的全纯顶点算子代数（VOA），其权一李代数为 $F_{4,6}A_{2,2}$。作者证明了该 VOA 的唯一性，并将该方法扩展至证明具有 $E_{7,3}A_{5,1}$ 权一李代数的 VOA 的唯一性，从而完成了施耐尔肯斯列表中全部 71 种李代数作为中心指数 24 的强正则全纯 VOA 的权一子代数的实现。

ABSTRACT

In this paper, a holomorphic vertex operator algebra $U$ of central charge 24 with the weight one Lie algebra $A_{8,3}A_{2,1}^2$ is proved to be unique. Moreover, a holomorphic vertex operator algebra of central charge 24 with weight one Lie algebra $F_{4,6}A_{2,2}$ is obtained by applying a $\mathbb{Z}_2$-orbifold construction to $U$. The uniqueness of such a vertex operator algebra is also established. By a similar method, we also established the uniqueness of a holomorphic vertex operator algebra of central charge 24 with the weight one Lie algebra $E_{7,3}A_{5,1}$. As a consequence, we verify that all $71$ Lie algebras in Schellekens' list can be realized as the weight one Lie algebras of some holomorphic vertex operator algebras of central charge $24$. In addition, we establish the uniqueness of three holomorphic vertex operator algebras of central charge $24$ whose weight one Lie algebras have the type $A_{8,3}A_{2,1}^2$, $F_{4,6}A_{2,2}$, and $E_{7,3}A_{5,1}$.

研究动机与目标

• 通过 ${\mathbb{Z}}_2$-群作用构造方法，显式构造一个中心指数为 24、权一李代数为 $F_{4,6}A_{2,2}$ 的全纯顶点算子代数，从而补全施耐尔肯斯列表中该类 VOA 的 71 种可能权一李代数中的最后一个缺失情况。
• 利用 ${\mathbb{Z}}_2$-群作用构造和提升技术，证明该 VOA 在同构意义下的唯一性。
• 将该方法推广至证明具有权一李代数 $E_{7,3}A_{5,1}$ 的全纯 VOA 的唯一性，从而完成对施耐尔肯斯列表中全部 71 种情况的验证。

提出的方法

• 对一个具有权一李代数 $A_{8,3}A_{2,1}^2$ 的全纯 VOA $U$ 应用 ${\mathbb{Z}}_2$-群作用构造，其中该群作用的固定点李代数为 $B_{4,6}A_{2,2}$。
• 利用 VOA 的镜像扩展构造方法，证明 $U$ 是中心指数为 24、满足 $U_1 = A_{8,3}A_{2,1}^2$ 的全纯 VOA 的唯一解。
• 使用广义的 Shimakura 提升准则，将李代数 $U_1$ 的外自同构提升为全纯 VOA $U$ 的自同构。
• 采用“反向群作用”方法，通过分析在 $U_1$ 上作用平凡的自同构，证明经构造得到的具有 $F_{4,6}A_{2,2}$ 和 $E_{7,3}A_{5,1}$ 权一李代数的 VOA 的唯一性。
• 利用共形权重计算和模不变性，验证扭模的结构，确保群作用构造产生的是全纯 VOA。
• 建立在 $U$ 上诱导相同 $U_1$ 作用的群作用的共轭性，从而保证群作用商的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式构造一个中心指数为 24、权一李代数为 $F_{4,6}A_{2,2}$ 的全纯顶点算子代数，从而补全施耐尔肯斯列表中 71 种可能情况的缺失？
• RQ2 中心指数为 24、权一李代数为 $F_{4,6}A_{2,2}$ 的全纯 VOA 是否在同构意义下唯一？
• RQ3 能否将用于 $F_{4,6}A_{2,2}$ 的方法推广至另一情况 $E_{7,3}A_{5,1}$，以证明其唯一性？
• RQ4 在什么条件下，VOA 的李子代数的外自同构可被提升为全 VOA 的自同构？
• RQ5 如何利用“反向群作用”构造方法证明所得 VOA 的唯一性？

主要发现

• 通过在唯一一个满足 $U_1 = A_{8,3}A_{2,1}^2$ 的全纯 VOA $U$ 上应用 ${\mathbb{Z}}_2$-群作用构造，成功构建了一个中心指数为 24、权一李代数为 $F_{4,6}A_{2,2}$ 的全纯顶点算子代数。
• 证明了满足 $U_1 = A_{8,3}A_{2,1}^2$ 的 VOA $U$ 在同构意义下是唯一的，方法包括镜像扩展和模不变性技术。
• 该构造依赖于将 $U_1$ 的外自同构提升为 $U$ 的自同构，该提升通过广义的提升准则实现。
• 通过反向群作用方法，证明了具有权一李代数 $F_{4,6}A_{2,2}$ 的全纯 VOA 的唯一性，表明任意两个此类 VOA 都同构。
• 该方法被成功推广至证明具有权一李代数 $E_{7,3}A_{5,1}$ 的全纯 VOA 的唯一性，从而完成了施耐尔肯斯列表中所有 71 种李代数的实现。
• 施耐尔肯斯列表中的全部 71 种李代数现在都被实现为某个中心指数为 24 的强正则全纯顶点算子代数的权一李代数。