[论文解读] A Homotopy Method for Motion Planning

Shenyu Liu, Mohamed-Ali Belabbas|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于同伦的运动规划方法，通过将约束编码到黎曼度量中，将初始的、无约束的轨迹（即‘草图’）变形为满足完整约束、非完整约束和障碍物约束的可行路径。该方法利用几何热流演化路径，实现了对复杂机器人运动规划问题（包括多车避碰）的高效、可扩展求解。

ABSTRACT

We propose a novel method for motion planning and illustrate its implementation on several canonical examples. The core novel idea underlying the method is to define a metric for which a path of minimal length is an admissible path, that is path that respects the various constraints imposed by the environment and the physics of the system on its dynamics. To be more precise, our method takes as input a control system with holonomic and non-holonomic constraints, an initial and final point in configuration space, a description of obstacles to avoid, and an initial trajectory for the system, called a sketch. This initial trajectory does not need to meet the constraints, except for the obstacle avoidance constraints. The constraints are then encoded in an inner product, which is used to deform (via a homotopy) the initial sketch into an admissible trajectory from which controls realizing the transfer can be obtained. We illustrate the method on various examples, including vehicle motion with obstacles and a two-link manipulator problem.

研究动机与目标

• 开发一种新颖的、计算高效的运动规划方法，将完整约束、非完整约束和障碍物约束统一整合到一个框架中。
• 解决在初始路径无需满足运动学或动力学约束的前提下，为具有复杂动力学和环境约束的系统生成可行轨迹的挑战。
• 在典型机器人运动规划问题（包括车辆运动和多车协同避碰）上展示该方法的有效性。
• 证明该方法通过保持偏微分方程求解域始终为二维，避免了维度灾难，从而实现高维配置空间的可扩展性。

提出的方法

• 该方法通过内积将所有约束——完整约束、非完整约束和障碍物相关约束——编码到黎曼度量中，从而定义一种几何结构，使得最短路径即为可行路径。
• 从一个初始草图（从起始状态到目标状态的分段可微曲线）开始，该草图无需满足约束，从而可轻松生成，尤其适用于凸配置空间。
• 通过在配置空间中应用几何热流（GHF），在约束诱导的度量下演化曲线，将初始草图变形为可行路径。
• GHF被表述为在二维域（由时间与同伦参数参数化）上的抛物型偏微分方程系统，确保与配置空间维度呈多项式量级的缩放。
• 通过将基度量与惩罚靠近禁止区域的障碍函数相乘来实现避障，包括多车场景中的对角子空间。
• 最终的可行路径通过度量诱导的速度生成控制输入，从而为系统提供实用的轨迹跟踪能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 同伦方法能否通过变形无约束的初始草图，高效生成满足障碍物约束的非完整系统的可行轨迹？
• RQ2 如何将完整约束、非完整约束和障碍物约束统一到单一黎曼度量中，以引导路径变形？
• RQ3 由于其固定的二维偏微分方程求解域，该方法是否能避免高维配置空间中的维度灾难？
• RQ4 能否通过在乘积度量中嵌入对角避让约束，将该方法扩展到多车运动规划中的碰撞避免？
• RQ5 求解几何热流在实际机器人运动规划任务中的计算效率如何？

主要发现

• 该方法成功将初始草图变形为满足转向半径约束的独轮车的可行路径，生成了光滑且符合运动学约束的轨迹。
• 在双独轮车换位问题中，算法将初始的圆形草图变形为两条V形路径，使两辆车能够在不违反朝向或碰撞约束的前提下完成位置交换。
• 在多车运动规划中，该方法通过在乘积配置空间中使用障碍函数嵌入对角障碍，实现了有效的碰撞避免。
• 几何热流求解器具有高效的可扩展性，使用非优化的MATLAB代码在标准笔记本电脑上计算时间从数秒到数分钟不等，表明其具有强大的实际可行性。
• 该方法避免了维度灾难，因为偏微分方程的求解域固定为二维，且插值点数量随配置空间维度线性增长，而非指数增长。
• 该方法可直接从最终路径的度量诱导速度计算控制输入，为轨迹跟踪提供了实用的实现路径。