[论文解读] A Homotopy Theory for Graphs

Eric Babson, Hélène Barcelo+2 more|ArXiv.org|Mar 9, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文通过构建一个无限胞复形 $X_\Gamma$，为图建立了同伦理论，使得图 $\Gamma$ 的 $n$-th $A$-群同构于 $X_\Gamma$ 的 $n$-th 经典同伦群，前提是立方体版本的单纯逼近定理成立。关键贡献在于建立了 $A_{n+1}(\Gamma)$ 与 $A_n(\Omega\Gamma)$ 之间的自然同构，这与经典环路空间同伦等价性相呼应。

ABSTRACT

The recently introduced A-homotopy groups for graphs are investigated. The main concern of the present article is the construction of an infinite cell complex, the homotopy groups of which are isomorphic to the A-homotopy groups of the given graph. We present a natural candidate for such a cell complex, together with a homomorphism between the corresponding groups that indeed yields an isomorphism, if a cubical analog of the simplicial approximation theorem holds, which - so far - we were unable to prove.

研究动机与目标

• 通过构建一个拓扑模型空间，将单纯复形的 $A$-理论推广至图。
• 建立从 $A_n(\Gamma, v_0)$ 群到经典同伦群 $\pi_n(X_\Gamma, v_0)$ 的同态映射。
• 在合理假设立方体版本的单纯逼近定理成立的前提下，证明该同态是同构。
• 通过引入环路图构造，证明 $A$-群的环路空间型同构。
• 通过 $X_\Gamma$ 的奇异同调，为 $A$-理论关联的同调理论提供基础。

提出的方法

• 通过在图 $\Gamma_q(\Delta)$ 的所有三元和四元环上附着 2-胞胞，构造模型空间 $X_\Gamma$，推广了早期的构造方法。
• 将 $A_n(\Gamma, v_0)$ 定义为从 $n$-维立方体 $I^n_m$ 到 $\Gamma$ 的图同态的同伦类集合，固定边界和基点。
• 使用路径图 $I_m$ 的笛卡尔积来定义高维立方体，并通过图同态到 $\Gamma$ 来定义同伦。
• 引入环路图 $\Omega\Gamma$，其顶点为 $\Gamma$ 中的环路，并定义映射 $\alpha: A_n(\Omega\Gamma) \to A_{n+1}(\Gamma)$。
• 通过构造显式的 $A$-同伦并利用边界延拓性质，证明映射 $[f] \mapsto [\alpha(f)]$ 的自然性与双射性。
• 将立方体版本的单纯逼近定理（性质 6.1）作为同构结果的关键假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的 $A$-同伦群能否自然同构于由图构造的拓扑空间的古典同伦群？
• RQ2 $A$-理论是否能通过无限胞复形 $X_\Gamma$ 实现拓扑化？
• RQ3 是否存在图的环路空间构造，使得 $A_{n+1}(\Gamma) \cong A_n(\Omega\Gamma)$，类似于经典同伦理论？
• RQ4 在何种条件下，自然同态 $A_n(\Gamma) \to \pi_n(X_\Gamma)$ 是同构？
• RQ5 $A$-理论与子空间排列补集的同伦关系如何，例如 $k$-等排列？

主要发现

• 在立方体版本的单纯逼近定理成立的前提下，$A_n(\Gamma, v_0)$ 群同构于所构造的胞复形 $X_\Gamma$ 的经典同伦群 $\pi_n(X_\Gamma, v_0)$。
• 由 $\alpha(f)(x,y) = f(x)(y)$ 定义的映射 $\alpha: A_n(\Omega\Gamma) \to A_{n+1}(\Gamma)$ 诱导出 $A_{n+1}(\Gamma)$ 与 $A_n(\Omega\Gamma)$ 之间的自然同构。
• 通过在 $\Gamma_q(\Delta)$ 的三元和四元环上附着 2-胞胞来构造 $X_\Gamma$，使得 $A_1$-群成为所得空间的基本群。
• $A$-同伦群在图同态的 $A$-同伦关系诱导的等价关系下是良定义的，且对 $n \geq 1$ 构成群结构。
• 环路图 $\Omega\Gamma$ 定义为 $\Gamma$ 中环路的图，且 $A$-理论满足类似于经典同伦理论的环路空间对偶性。
• 自然映射 $A_0(\Omega G) \to A_1(G)$ 将环路的连通分支映射到其同伦类，是一个良定义的双射。