[论文解读] A Homotopy Theory for Stacks

Sharon Hollander|ArXiv.org|Oct 22, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 14

一句话总结

本文通过使用同伦极限来形式化下降条件，将堆栈表征为群丛的同伦层，建立了堆栈的同伦理论基础。它在预层的群丛范畴上构造了一个与Quillen等价的模型范畴结构，其中堆栈是纤维对象，从而在同伦理论中统一了经典的堆栈构造。

ABSTRACT

We give a homotopy theoretic characterization of stacks on a site $\cC$ as the {\it homotopy sheaves} of groupoids on $\cC$. We use this characterization to construct a model category in which stacks are the fibrant objects. We compare different definitions of stacks and show that they lead to Quillen equivalent model categories. In addition, we show that these model structures are Quillen equivalent to the $S^2$-nullification of Jardine's model structure on sheaves of simplicial sets on $\cC$.

研究动机与目标

• 通过将堆栈重新定义为群丛的同伦层，为其提供同伦理论解释。
• 通过使用同伦极限而非普通极限，解决堆栈中同构类不满足经典层条件的问题。
• 在纤维于群丛的范畴及群丛的预层上构造一个模型范畴结构，其中弱等价为纤维或对象层面的等价。
• 证明由此产生的模型范畴是Quillen等价的，从而实现在不同堆栈范畴框架之间的转换。
• 证明堆栈、预层和群丛层的局部化模型结构是Quillen等价的，且堆栈为纤维对象。

提出的方法

• 通过同伦极限条件定义堆栈：对每个覆盖 $ \{U_i \to X\} $，预层 $ F $ 是堆栈当且仅当 $ F(X) \simeq \operatorname{holim}(\prod F(U_i) \rightrightarrows \prod F(U_{ij}) \leftarrow \cdots) $。
• 在 $ \mathcal{Grpd}/\mathcal{C} $ 和 $ P(\mathcal{C}, \mathcal{Grpd}) $ 上构造一个模型范畴结构，其中弱等价为群丛的纤维或对象层面等价。
• 通过伴随对 $ (\Gamma, p) $ 建立纤维于群丛的范畴与群丛预层的模型范畴之间的Quillen等价。
• 对模型结构进行局部化，得到新的模型范畴，其中堆栈恰好是纤维对象。
• 证明预层上的局部化模型结构与Jardine在层值单纯集上的模型结构的 $ S^2 $-零化是Quillen等价的。
• 利用范畴的同伦理论证明：在 $ \mathcal{Cat} $ 中，若沿对象的单射映射对满射等价进行上积，则结果仍为满射等价，该结果为同伦上积的构造提供了关键技术支撑。

实验结果

研究问题

• RQ1 堆栈能否通过同伦极限被内在地表征为群丛的同伦层？
• RQ2 在同伦理论框架下，通过纤维于群丛的范畴和通过广义预层定义的堆栈是否在Quillen意义下等价？
• RQ3 是否存在一个群丛预层上的模型范畴结构，使得堆栈恰好是纤维对象？
• RQ4 堆栈的模型范畴是否与Jardine在层值单纯集上的模型结构的 $ S^2 $-零化是Quillen等价的？
• RQ5 堆栈构造的同伦理论解释（如2-拉回、堆栈化）能否被赋予函子性和一致性？

主要发现

• 堆栈恰好是群丛的同伦层：对每个覆盖 $ \{U_i \to X\} $，预层 $ F $ 是堆栈当且仅当 $ F(X) \simeq \operatorname{holim}(\prod F(U_i) \rightrightarrows \prod F(U_{ij}) \leftarrow \cdots) $。
• 在弱等价为纤维等价的 $ \mathcal{Grpd}/\mathcal{C} $ 模型范畴结构中，堆栈是纤维对象。
• 纤维于群丛的范畴与群丛预层之间的伴随对 $ (\Gamma, p) $ 是Quillen等价，表明其同伦理论等价。
• 在 $ \mathcal{Grpd}/\mathcal{C}_L $、$ P(\mathcal{C}, \mathcal{Grpd})_L $ 和 $ Sh(\mathcal{C}, \mathcal{Grpd})_L $ 上的局部化模型结构是Quillen等价的，且堆栈为纤维对象。
• 群丛预层上的模型结构与Jardine在层值单纯集上的模型结构的 $ S^2 $-零化是Quillen等价的。
• 在 $ \mathcal{Cat} $ 中，沿对象的单射映射对满射等价进行上积后，结果仍为满射等价，这是同伦上积构造的关键技术结果。