[论文解读] A homotopy theory of additive categories with suspensions

Zhiwei Li|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文通过局部化三元组和预部分三角结构，为带有悬垂结构的加法范畴构建了同伦理论，证明了弱幂等完备的精确范畴上的精确模型结构的同伦范畴，与纤维化-共纤维化对象的子商范畴作为预三角范畴是等价的。该框架推广了Hovey三元组，并实现了不依赖模型结构的预三角同伦范畴的构造。

ABSTRACT

We develop a homotopy theory for additive categories endowed with endofunctors, analogous to the concept of a model structure. We use it to construct the homotopy theory of a Hovey triple (which consists of two compatible complete cotorsion pairs) in an arbitrary exact category. We show that the homotopy category of an exact model structure (in the sense of Hovey) in a weakly idempotent complete exact category is equivalent to the subfactor category of cofibrant-fibrant objects as pre-triangulated categories.

研究动机与目标

• 在不依赖模型结构的前提下，为带有悬垂结构的加法范畴发展同伦理论。
• 通过Hovey三元组推广在精确模型范畴中构造同伦范畴的方法。
• 证明精确模型结构的同伦范畴与纤维化-共纤维化对象的子商范畴作为预三角范畴是等价的。
• 通过预部分三角结构框架在同伦范畴上建立预三角结构。
• 统一并拓展代数与几何中关于单边三角结构与同伦范畴的现有结果。

提出的方法

• 在加法范畴 A 中引入局部化三元组 (C, X, F) 的概念，其中 C、X、F 为满足特定条件的全加法子范畴。
• 将同伦范畴 Ho(C, X, F) 定义为 A[S⁻¹]，其等价于子商范畴 (C ∩ F)/X。
• 引入预部分三角范畴的概念，结合部分左三角结构与右三角结构，并满足相容性条件。
• 利用预部分三角结构证明 (C ∩ F)/X 继承了预三角结构。
• 将该框架应用于精确范畴中的 Hovey 三元组 (C, W, F)，证明当 X = C ∩ W ∩ F 时，(C, X, F) 构成一个局部化三元组。
• 证明由 Hovey 三元组诱导的精确模型结构 M 的同伦范畴 Ho(M) 与 (C ∩ F)/X 作为预三角范畴是等价的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 Quillen 模型结构的前提下，为带有悬垂结构的加法范畴发展同伦理论？
• RQ2 如何在任意精确范畴中独立于模型结构构造 Hovey 三元组的同伦范畴？
• RQ3 当赋予 Hovey 三元组诱导的结构时，纤维化-共纤维化对象的子商范畴 (C ∩ F)/X 是否为预三角范畴？
• RQ4 子商范畴 (C ∩ F)/X 上的预三角结构是否与精确模型结构同伦范畴的标准预三角结构一致？
• RQ5 能否通过保持三角结构的嵌入，建立精确模型结构的同伦范畴与子商范畴 (C ∩ F)/X 之间的等价？

主要发现

• 与局部化三元组 (C, X, F) 关联的同伦范畴 Ho(C, X, F) 等价于子商范畴 (C ∩ F)/X。
• 若 (A, Ω, Σ, L(F), R(C), X) 是一个预部分三角范畴，则 (C ∩ F)/X 是一个预三角范畴。
• 在任意精确范畴 (A, E) 中，对任意 Hovey 三元组 (C, W, F)，当 X = C ∩ W ∩ F 时，三元组 (C, X, F) 构成一个局部化三元组。
• 范畴 A 配备结构 (0, 0, L(F), R(C), X) 构成一个预部分三角范畴。
• 由 Hovey 三元组诱导的精确模型结构 M 的同伦范畴 Ho(M) 与 (C ∩ F)/X 作为预三角范畴是等价的。
• 嵌入 (C ∩ F)/X ↪ Ho(M) 同时保持左三角结构与右三角结构，确保完整的三角等价。