[论文解读] A hybrid constraint programming and semidefinite programming approach for the stable set problem

van Hoeve|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2003

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文提出一种混合方法，结合约束规划（CP）与半定规划（SDP），以求解最大稳定集问题。该方法利用SDP松弛对变量值进行排序，并指导CP求解器中的有限差异搜索，显著提升了子问题选择的效果；计算结果表明，高质量解能被早期找到，或立即证明最优性，表明SDP松弛具有很强的信息价值。

ABSTRACT

This work presents a hybrid approach to solve the maximum stable set problem, using constraint and semidefinite programming. The approach consists of two steps: subproblem generation and subproblem solution. First we rank the variable domain values, based on the solution of a semidefinite relaxation. Using this ranking, we generate the most promising subproblems first, by exploring a search tree using a limited discrepancy strategy. Then the subproblems are being solved using a constraint programming solver. To strengthen the semidefinite relaxation, we propose to infer additional constraints from the discrepancy structure. Computational results show that the semidefinite relaxation is very informative, since solutions of good quality are found in the first subproblems, or optimality is proven immediately.

研究动机与目标

• 为高效求解最大稳定集问题的计算挑战提供解决方案。
• 利用半定规划（SDP）在提供强边界和搜索引导方面的优势。
• 将SDP松弛与约束规划（CP）相结合，以改善子问题选择与解的质量。
• 探究基于SDP的变量排序是否能增强CP中有限差异搜索的有效性。
• 通过从差异结构中推导额外约束，强化SDP松弛。

提出的方法

• 使用半定松弛计算边界，并根据变量取值属于最优稳定集的可能性对变量取值进行排序。
• 应用有限差异搜索策略以探索搜索树，优先处理高排序变量值的子问题。
• 基于SDP导出的排序，优先生成有希望的子问题，尽早聚焦于高质量解。
• 使用约束规划求解器求解生成的子问题，以验证可行性和最优性。
• 从差异结构中推导额外的有效不等式，以强化半定规划松弛。
• 迭代优化SDP松弛，并利用其指导CP搜索，提升求解效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 SDP松弛能否在约束规划框架中有效指导稳定集问题的变量选择？
• RQ2 基于SDP排序的有限差异搜索在多大程度上提升了找到最优或近似最优解的速度？
• RQ3 通过差异导出的约束强化SDP松弛，能在多大程度上改善解的质量与边界紧致性？
• RQ4 该混合CP-SDP方法是否能在搜索过程中立即证明最优性？
• RQ5 SDP松弛在识别具有高潜力的子问题以供进一步探索方面，信息量有多高？

主要发现

• SDP松弛提供了高度信息性的引导，使在前几个子问题中即可识别出高质量解。
• 在许多实例中，最优性被立即证明，表明SDP松弛具有极强的边界质量。
• 基于SDP排序生成的子问题，其表现始终优于随机或启发式选择的子问题。
• 将差异结构整合进SDP松弛后，边界更紧致，搜索效率得到提升。
• 与标准CP方法相比，该混合方法显著减少了探索的子问题数量。
• 该方法在基准实例上表现出色，能快速收敛至最优或近似最优解。